有 $100$ 个集装箱里面有 $200$ 个货物，在取出来的过程中货物的顺序被打乱了．现在将他们按一定的规则重新装入集装箱中．将货物依次取出，依次放入集装箱中，集装箱的体积都是 $1$，且每个集装箱最多放两个货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把第二个货物放到下个集装箱中．比如原来有2个集装箱中的货物体积是 $\left( {0.5 , 0.5} \right)$，$\left( {0.7 , 0.3} \right)$，被打算顺序后为 $0.5 , 0.7 , 0.5 , 0.3$，那么就需要 $3$ 个集装箱去装它们．问在最坏的情况下需要多少个集装箱才能将所有的货物装完？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$199$
【解析】
至少需要 $199$ 个箱子才能确保装下这 $200$ 件物品．
首先，这 $200$ 件物品无论怎样随意摆放，一定存在有两个相邻的物品放入同一个箱子，否则记这 $200$ 件物品的体积为 ${a_1} , {a_2} , \cdots , {a_{200}}$，且箱子的容量为 $M$．
不妨设随意摆放的次序为 ${a_1} , {a_2} , \cdots , {a_{200}}$，那么$${a_1} + {a_2} , {a_3} + {a_4} , \cdots , {a_{199}} + {a_{200}} > M,$$相加得$${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{200}} > 100M,$$矛盾．
其次，设箱子的体积分别为 $1 , 2 , 3 , \cdots , 200$，箱子容量为 $201$，打乱后的顺序为$$1 , 2 , 200 , 3 , 199 , 4 , 198 , 5 , \cdots , 103 , 102,$$即从第 $3$ 项起，两个等差数列交叉排列，那么原本可以用 $100$ 个集装箱装完：$$\left( {1 , 200} \right),\left( {2 , 199} \right),\left( {100 , 101} \right),$$但打乱后只有第一个集装箱装了 $\left( {1 , 2} \right)$，其他的集装箱都只能装一个货物．此时需要 $199$ 个集装箱才能将所有的货物装完．
首先，这 $200$ 件物品无论怎样随意摆放，一定存在有两个相邻的物品放入同一个箱子，否则记这 $200$ 件物品的体积为 ${a_1} , {a_2} , \cdots , {a_{200}}$，且箱子的容量为 $M$．
不妨设随意摆放的次序为 ${a_1} , {a_2} , \cdots , {a_{200}}$，那么$${a_1} + {a_2} , {a_3} + {a_4} , \cdots , {a_{199}} + {a_{200}} > M,$$相加得$${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{200}} > 100M,$$矛盾．
其次，设箱子的体积分别为 $1 , 2 , 3 , \cdots , 200$，箱子容量为 $201$，打乱后的顺序为$$1 , 2 , 200 , 3 , 199 , 4 , 198 , 5 , \cdots , 103 , 102,$$即从第 $3$ 项起，两个等差数列交叉排列，那么原本可以用 $100$ 个集装箱装完：$$\left( {1 , 200} \right),\left( {2 , 199} \right),\left( {100 , 101} \right),$$但打乱后只有第一个集装箱装了 $\left( {1 , 2} \right)$，其他的集装箱都只能装一个货物．此时需要 $199$ 个集装箱才能将所有的货物装完．
答案
解析
备注
