设 $a_1,a_2,\cdots,a_{20}\in\{1,2,\cdots,5\}$，$b_1,b_2,\cdots,b_{20}\in\{1,2,\cdots,10\}$，集合 $X=\{(i,j)\mid 1\leqslant i<j\leqslant20,(a_i-a_j)(b_i-b_j)<0\}$，求 $X$ 的元素个数的最大值．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（二试）
【标注】
【答案】
$160$
【解析】
考虑一组满足条件的正整数\[\left\{a_1,a_2,\cdots,a_{20},b_1,b_2,\cdots,b_{20}\right\}.\]对 $k=1,2,\cdots,5$，设 $a_1,a_2,\cdots,a_{20}$ 中取值为 $k$ 的数有 $t_k$ 个．根据 $X$ 的定义，当 $a_i=a_j$ 时，$(i,j)\notin X$，因此至少有 $\displaystyle\sum_{k=1}^5{\rm C}_{t_k}^2$ 个 $(i,j)$ 不在 $ X$ 中．注意到\[\sum_{k=1}^5t_k=20,\]由柯西不等式，有\[\sum_{k=1}^5{\rm C}_{t_k}^2=\dfrac 12\left(\sum_{k=1}^5t_k^2-\sum_{k=1}^5t_k\right)\geqslant \dfrac 12\left(\dfrac 15\left(\sum_{k=1}^5t_k\right)^2-\sum_{k=1}^5t_k\right)=30,\]从而 $X$ 的元素个数不超过\[{\rm C}_{20}^2-30=160.\]另一方面，取\[a_{4k-3}=a_{4k-2}=a_{4k-1}=a_{4k}=k,\]其中 $k=1,2,\cdots,5$，且\[b_i=6-a_i,\]其中 $i=1,2,\cdots,20$，则对任意 $i,j$（$1\leqslant i<j\leqslant 20$），有\[(a_i-a_j)(b_i-b_j)=(a_i-a_j)\left[(6-a_i)-(6-a_j)\right]=-(a_i-a_j)^2\leqslant 0,\]等号成立当且仅当 $a_i=a_j$，这恰好发生 $5{\rm C}_4^2=30$ 次．此时 $X$ 的元素个数取得 $160$．
综上所述，$X$ 的元素个数的最大值为 $160$．
综上所述，$X$ 的元素个数的最大值为 $160$．
答案
解析
备注
