设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是 $5$ 个正实数（可以相等），证明：一定存在 $4$ 个互不相同的下标 $i,j,k,l$，使得 $\left|\dfrac{a_i}{a_j}-\dfrac{a_k}{a_l}\right|<\dfrac 12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记\[f(m,n)=\min\left\{\dfrac{a_m}{a_n},\dfrac{a_n}{a_m}\right\},\]则考虑\[f(1,3),f(2,4),f(3,5),f(4,1),f(5,2),\]这 $5$ 个数均在 $(0,1]$ 内取值，因此必然存在三个数同时位于区间 $\left(0,\dfrac 12\right]$ 或同时位于区间 $\left(\dfrac 12,1\right]$．另一方面，从\[f(1,3),f(2,4),f(3,5),f(4,1),f(5,2)\]中任意抽取三个数，必然存在两个数相邻（视 $f(5,2)$ 与 $f(1,3)$ 相邻），因此原命题得证．
答案
解析
备注
