满足条件 ②③ 且前两位为 $11,13,31,33$ 的 $n$（$n\geqslant 2$）位十进制数个数相同，记为 $a_n$；满足条件 ②③ 且前两位为 $22$ 的 $n$ 位十进制数的个数记为 $b_n$，则所求的“$10$ 位和谐数”的个数为 $2a_{10}$．
以 $11$ 开头的 $n$ 位“和谐数”，第三位可能为 $1,3,2$，其中第三位为 $1$，$3$ 的和谐数各有 $a_{n-1}$ 个；第三位为 $2$ 的和谐数第四位仍然为 $2$，共有 $b_{n-2}$ 个，所以有 $a_n=2a_{n-1}+b_{n-2}$；
再考虑以 $22$ 开头的 $n$ 位“和谐数”，第三位可能为 $1,3,2$，其中第三位为 $1,3$ 时第四位可以为 $1,3$，共有 $4a_{n-2}$ 个；第三位为 $2$ 时，共有 $b_{n-1}$ 个，于是有 $b_n=4a_{n-2}+b_{n-1}$．
根据题意，有 $a_2=b_2=1$，$a_3=2$，$b_3=1$，且有\[\begin{cases} a_n=2a_{n-1}+b_{n-2},\\ b_n=4a_{n-2}+b_{n-1},\end{cases}\]因此\[\begin{array}{c|ccccccccc}\hline
n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
a_n & 1 & 2 & 5 & 11 & 27 & 67 & 167 & 411 & 1007 \\ \hline
b_n & 1 & 1 & 5 & 13 & 33 & 77 & 185 & 453 & 1121 \\ \hline
\end{array}\]从而 $2a_{10}=2014$ 为所求．