$20$ 个巫师孤岛聚会．在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师．证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他九个巫师的诅咒．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
$20$ 个巫师，共可作成 ${\rm C}_{20}^3$ 个“三巫组”，每个组至少诅咒过一个人，故被诅咒过的巫师至少有 ${\rm C}_{20}^3$ 人次．
设 $W$ 是受到诅咒最多的一个巫师，他被 $m$ 个“三巫组”诅咒过，则$$m\geqslant \dfrac{{\rm C}_{20}^3}{20}=57.$$若 $m$ 个“三巫组”中，总共含有 $k$ 个巫师，这 $k$ 人共可作成 ${\rm C}_k^3$ 个“三巫组”，因此$${\rm C}_k^3\geqslant m\geqslant 57.$$注意到，当 $k\geqslant 3$ 时，组合数 ${\rm C}_k^3$ 严格递增．因为$${\rm C}_8^3=56<57 , {\rm C}_9^3=84>57,$$所以 $k\geqslant 9$．
设 $W$ 是受到诅咒最多的一个巫师，他被 $m$ 个“三巫组”诅咒过，则$$m\geqslant \dfrac{{\rm C}_{20}^3}{20}=57.$$若 $m$ 个“三巫组”中，总共含有 $k$ 个巫师，这 $k$ 人共可作成 ${\rm C}_k^3$ 个“三巫组”，因此$${\rm C}_k^3\geqslant m\geqslant 57.$$注意到，当 $k\geqslant 3$ 时，组合数 ${\rm C}_k^3$ 严格递增．因为$${\rm C}_8^3=56<57 , {\rm C}_9^3=84>57,$$所以 $k\geqslant 9$．
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