设 $n\geqslant 11$ 是一正整数，由不大于 $n$ 的连续 $10$ 个正整数的和组成集合 $A$，由不大于 $n$ 的连续 $11$ 个正整数的和组成集合 $B$．若 $A\cap B$ 的元素个数是 $181$，求 $n$ 的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$n$ 的最大值和最小值分别为 $2011$ 和 $2001$
【解析】
显然\[\begin{split}&A=\{55+10k\mid 0\leqslant k\leqslant n-10,k\in \mathbb Z\},\\&B=\{66+11l\mid 0\leqslant l\leqslant n-11,l\in \mathbb Z\},\end{split}\]为求 $A\cap B$ 的元素个数，令$$55+10k=66+11l,$$则$$10k=(l+1)11.$$再令 $k=11m$，得$$l=10m-1.$$因为$$0\leqslant k\leqslant n-10,$$所以 $m$ 可取值$$0,1,2,\cdots ,\left[\dfrac{n-10}{11}\right],$$此时 $l$ 的相应取值为$$-1,9,19,\cdots ,10\left[\dfrac{n-10}{11}\right]-1.$$注意到$$10\left[\dfrac{n-10}{11}\right]-1\leqslant 10\cdot \dfrac{n-10}{11}-1\leqslant n-11$$符合 $l$ 的取值范围．舍去不合乎要求的值 $-1$，则知集合 $A\cap B$ 的元素个数为 $\left[\dfrac{n-10}{11}\right]$．
令 $181=\left[\dfrac{n-10}{11}\right]$，则$$181\leqslant \dfrac{n-10}{11}<182,$$即$$2001\leqslant n<2012,$$于是 $n$ 的最大值和最小值分别为 $2011$ 和 $2001$．
令 $181=\left[\dfrac{n-10}{11}\right]$，则$$181\leqslant \dfrac{n-10}{11}<182,$$即$$2001\leqslant n<2012,$$于是 $n$ 的最大值和最小值分别为 $2011$ 和 $2001$．
答案
解析
备注
