给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $k$，使得可将正整数集 $\mathbb N^*$ 分拆为 $k$ 个互不相交的子集 $A_1,A_2,\cdots,A_k$，每个子集 $A_i$ 中均不存在 $4$ 个数 $a,b,c,d$（可以相同），满足 $ab-cd=m$．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
取 $k=m+1$，令\[A_i=\{x\mid x\equiv i\pmod {m+1},x\in\mathbb N^*\},\]其中 $i=1,2,\cdots,m+1$．设 $a,b,c,d\in A_i$，则\[ab-cd\equiv i\cdot i-i\cdot i=0\equiv 0\pmod{m+1},\]故 $m+1\mid ab-cd$，而 $m+1\nmid m$，所以 $A_i$ 中不存在 $4$ 个数 $a,b,c,d$ 满足 $ab-cd=m$．
答案
解析
备注
