若一些实数组成的集合可划分为三个非空子集，使得对取自任两个不同子集的任意元素 $x,y$，均有 $2(x+y)$ 在第三个子集中，则称此集合具有可分二倍和性质，试判断所有有理数组成的集合是否具有可分二倍和性质，并证明你的结论．
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
不具有可分二倍和性质
【解析】
假设所有有理数组成的集合具有可分二倍和性质，设有理数集划分为集合 $A,B,C$ 且 $0\in A$．由于 $B$ 非空，设 $x\in B$ 且 $x\ne 0$，则\[2x=2(x+0)\in C.\]若 $-x\in A$，则\[2[(-x)+x]=0\in C,\]矛盾；
若 $-x\in B$，则\[2[(-x)+2x]=2x\in A,\]矛盾；
因此 $-x \in C$．类似的，可以证明 $3x\in A$．从而\[-2x\in B,2x\in C.\]考虑 $\dfrac x3$．
若 $\dfrac x3\in A$，则\[2\left(\dfrac x3-x\right)=-\dfrac {4x}3\in B,\]进而\[2\left(\dfrac x3-\dfrac{4x}3\right)=-2x\in C,\]矛盾；
若 $\dfrac x3\in B$，则\[3\cdot \dfrac x3=x\in A,\]矛盾；
若 $\dfrac x3\in C$，则 $-\dfrac x3\in B$，于是\[3\cdot \left(-\dfrac x3\right)=-x\in A,\]矛盾．
因此有理数集不具有可分二倍和性质．
若 $-x\in B$，则\[2[(-x)+2x]=2x\in A,\]矛盾；
因此 $-x \in C$．类似的，可以证明 $3x\in A$．从而\[-2x\in B,2x\in C.\]考虑 $\dfrac x3$．
若 $\dfrac x3\in A$，则\[2\left(\dfrac x3-x\right)=-\dfrac {4x}3\in B,\]进而\[2\left(\dfrac x3-\dfrac{4x}3\right)=-2x\in C,\]矛盾；
若 $\dfrac x3\in B$，则\[3\cdot \dfrac x3=x\in A,\]矛盾；
若 $\dfrac x3\in C$，则 $-\dfrac x3\in B$，于是\[3\cdot \left(-\dfrac x3\right)=-x\in A,\]矛盾．
因此有理数集不具有可分二倍和性质．
答案
解析
备注
