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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26747 5912acfae020e700094b0cdf 高中 解答题 自招竞赛 已知曲线 $C$：$\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$，曲线 $C$ 关于直线 $y = 2x$ 对称的曲线为曲线 $C'$，曲线 $C'$ 与曲线 $C''$ 关于直线 $y = - \dfrac{1}{2}x + 5$ 对称，求曲线 $C'$、$C''$ 的方程． 2022-04-17 20:50:57
23908 591171fce020e7000878f5f9 高中 解答题 高中习题 设封闭曲线 $E_n:\dfrac{x^{2^n}}{a^2}+\dfrac{y^{2^n}}{b^2}=1$（$a,b\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^*$）所围成的面积为 $S_n$，求证：$4<S_n\leqslant ab\pi$． 2022-04-17 20:50:31
23733 590fbd77857b42000aca3891 高中 解答题 自招竞赛 从 $O$ 点发出两条射线 ${l_1},{l_2}$，已知直线 $l$ 分别交 ${l_1},{l_2}$ 于 $A,B$ 两点，且 ${S_{\triangle OAB}} = c$（$c$ 为定值），记 $AB$ 中点为 $D$，$D$ 随着 $A,B$ 的运动构成轨迹 $\Gamma$．求证： 2022-04-17 20:20:30
22182 5a1228f8aaa1af00079cab73 高中 解答题 自招竞赛 依次回答下列问题： 2022-04-17 20:49:15
14355 592793b174a309000798cdf7 高中 填空题 高中习题 在平面直角坐标系中，动点 $P\left( {x,y} \right)$ 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 $\left( {1,1} \right)$ 的距离，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $W$．
$(1)$ 给出下列三个结论：
① 曲线 $W$ 关于原点对称；
② 曲线 $W$ 关于直线 $y = x$ 对称；
③ 曲线 $W$ 与 $x$ 轴非负半轴，$y$ 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 $\dfrac{1}{2}$；
其中，所有正确结论的序号是  ．
$(2)$ 曲线 $W$ 上的点到原点距离的最小值是  ．		 2022-04-16 22:43:57
13814 5927942774a309000813f699 高中 填空题 高中习题 曲线 $C$ 是平面内到直线 ${l_1}:x = - 1$ 和直线 ${l_2}:y = 1$ 的距离之积等于常数 ${k^2}\left( {k > 0} \right)$ 的点的轨迹．给出下列四个结论：
① 曲线 $C$ 过点 $\left( - 1,1\right)$；
② 曲线 $C$ 关于点 $\left( - 1,1\right)$ 对称；
③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，点 $A,B$ 分别在直线 ${l_1},{l_2}$ 上，则 $\left| {PA} \right| + \left| {PB} \right|$ 不小于 $2k$；
④ 设 ${P_0}$ 为曲线 $C$ 上任意一点，则点 ${P_0}$ 关于直线 $x = - 1$，点 $\left( - 1,1\right)$ 及直线 $y = 1$ 对称的点分别为 ${P_1}$，${P_2}$，${P_3}$，则四边形 ${P_0}{P_1}{P_2}{P_3}$ 的面积为定值 $4k{}^2$．
其中，所有正确结论的序号是  ．		 2022-04-16 22:59:52
10585 591280d3e020e700094b0c01 高中 填空题 自招竞赛 若曲线 ${C_1}:{x^2} - {y^2} = 0$ 与 ${C_2}:{\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} = 1$ 有 $3$ 个交点，则 $a =$  ． 2022-04-16 22:44:19
9539 5912659fe020e7000878f6f6 高中 填空题 高考真题 在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{-x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身．平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C'$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A'$，则点 $A'$ 的“伴随点”是点 $A$；
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③ 若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则其“伴随曲线”$C'$ 关于 $y$ 轴对称；
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．		 2022-04-16 22:01:10
9537 591266d9e020e700094b0a7e 高中 填空题 高考真题 在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{-x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：
① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A'$，则点 $A'$ 的“伴随点”是点 $A$；
② 单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③ 若两点关于 $x$ 轴对称，则它们的“伴随点”关于 $y$ 轴对称；
④ 若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．		 2022-04-16 22:00:10
7959 59099c2038b6b40008d7bbd7 高中 填空题 自招竞赛 在直角坐标平面内，曲线 $\left|x-1\right|+\left|x+1\right|+\left|y\right|=3$ 围成的图形的面积是 ． 2022-04-16 21:32:55
7888 590c2165857b420007d3e4b0 高中 填空题 自招竞赛 关于曲线 $C:x^4+y^2=1$ 的下列命题：
① 曲线 $C$ 关于原点对称；
② 曲线 $C$ 关于直线 $y=x$ 对称；
③ 曲线 $C$ 所围成的面积小于 $\pi$；
④ 曲线 $C$ 所围成的面积大于 $\pi$．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 21:55:54
7474 5911113b40fdc7000a51cf9e 高中 填空题 高考真题 曲线 $C$ 是平面内与两个定点 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$ 的距离之积等于常数 $a^2(a>1)$ 的点的轨迹．给出下列三个结论：
① 曲线 $C$ 过坐标原点；
② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；
③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积不大于 $\dfrac{1}{2}a^2$．
其中所有正确结论的序号是 ．		 2022-04-16 21:10:52
7183 59fa749c6ee16400083d26bf 高中 填空题 自招竞赛 已知点 $P(x,y)$ 在曲线 $x^2+y^2-|x|-|y|=0$ 上，设 $O$ 为坐标原点，则 $|OP|$ 的最小值是 ，最大值是 ． 2022-04-16 21:15:51
7168 59f02b9c9552360008e02dac 高中 填空题 高中习题 若圆 $x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = r^{2} $ 与曲线 $\left(x - 1\right)y = 1$ 没有公共点，则半径 $r$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:12:51
6697 59f15c2c9552360008e02f75 高中 填空题 自招竞赛 曲线 $x^2+y^2-5=|2x-2|$ 围成的图形的面积是 ． 2022-04-16 21:45:49
6619 590952f6060a05000a339074 高中 选择题 高考真题 在平面直角坐标系中，两点 ${P_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right),{P_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 间的"L-距离"定义为 $|| {P_1}{P_2} ||= | {x_1} - {x_2} | + | {y_1} - {y_2} |$，则平面内与 $x$ 轴上两个不同的定点 ${F_1},{F_2}$ 的"L-距离"之和等于定值（大于 $| | {F_1}{F_2} ||$）的点的轨迹可以是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:22:54
6553 590ae06e6cddca00078f39fe 高中 选择题 自招竞赛 方程 $x^4-y^4-4x^2+4y^2=0$ 表示的图形是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:47:53
6311 59127007e020e7000a798a4d 高中 选择题 自招竞赛 已知 $C$ 是以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径的圆周，两点 $P$、$P'$ 在以 $O$ 为起点的射线上，并且满足 $\left| {OP} \right| \cdot \left| {OP'} \right| = {r^2}$，则称 $P,P'$ 关于圆周 $C$ 对称．那么，双曲线 ${x^2} - {y^2} = 1$ 上的点 $P\left( {x,y} \right)$ 关于单位圆周 $C$：${x^2} + {y^2} = 1$ 的对称点 $P'$ 所满足的方程为 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:32:51
6308 59127092e020e700094b0b18 高中 选择题 自招竞赛 单位圆 $D = \left\{ {(x , y)\mid {x^2} + {y^2} < 1} \right\}$ 内连接单位圆周 $C = \left\{ {(x , y)\mid {x^2} + {y^2} = 1} \right\}$ 上两个不同点且与 $C$ 在这两点处垂直的圆弧或直线段称为单位圆 $D$ 内的双曲直线（这里两条圆弧在交点处垂直是指这两条圆弧在交点处的切线垂直）．给定 $D$ 内一条双曲直线 $l$，则下列选项中正确的是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:31:51
6169 5912af17e020e7000878f997 高中 选择题 自招竞赛 把圆 ${x^2}+{\left({y-1}\right)^2}=1$ 与椭圆 ${x^2}+\dfrac{{{{\left({y+1}\right)}^2}}}{9}=1$ 的公共点用线段连接起来，所得到的图形为 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:13:50
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