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在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{-x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：
① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A'$，则点 $A'$ 的“伴随点”是点 $A$；
② 单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③ 若两点关于 $x$ 轴对称，则它们的“伴随点”关于 $y$ 轴对称；
④ 若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
【难度】
【出处】
2016年高考四川卷（文）
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    几何变换
    >
    反演变换
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    曲线与方程
【答案】
②③
【解析】
观察伴随点的坐标形式，考虑利用极坐标理解“伴随点”．设 $P(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$，其中 $\rho>0$，则其伴随点 $P'$ 为 $\left(\dfrac{1}{\rho}\sin\theta,-\dfrac{1}{\rho}\cos\theta\right)$，即 $\left(\dfrac{1}{\rho}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right),\dfrac{1}{\rho}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right)\right)$．可以理解为将 $P$ 绕 $O$ 顺时针旋转 $\dfrac{\pi}2$ 得到点 $Q$，然后在射线 $OQ$ 上取 $P'$ 使得 $|OP'|=\dfrac{1}{\rho}$（可以看成关于单位圆反演），如图．对命题 ①，取单位圆上的一点 $A$，那么它的“伴随点”$A'$ 的“伴随点”相当于将 $A$ 顺时针旋转 $\pi$ 得到的点，与点 $A$ 关于原点对称，命题错误；
对命题 ②，根据对“伴随点”的几何解释，命题正确；
对命题 ③，若两个点关于 $x$ 轴对称，那么两个点顺时针旋转 $\dfrac{\pi}2$ 后得到的点必然关于 $y$ 轴对称，此时将旋转后得到的两个点关于单位圆反演得到的两个点必然也关于 $y$ 轴对称，命题正确；
对命题 ④，取与单位圆相切的直线 $x=1$，则易知切点 $A(1,0)$ 的“伴随点”是点 $A'(0,-1)$．考虑直线上的点 $B(1,-1)$ 和 $C(1,1)$，它们的“伴随点”$B'$ 和 $C'$ 分别位于第三，四象限，且均在单位圆内部，显然此时 $A',B',C'$ 不共线，命题错误．
综上所述，真命题是 ②③．
题目 答案 解析 备注
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