曲线 $C$ 是平面内与两个定点 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$ 的距离之积等于常数 $a^2(a>1)$ 的点的轨迹．给出下列三个结论：
① 曲线 $C$ 过坐标原点；
② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；
③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积不大于 $\dfrac{1}{2}a^2$．
其中所有正确结论的序号是 ．
① 曲线 $C$ 过坐标原点；
② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；
③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积不大于 $\dfrac{1}{2}a^2$．
其中所有正确结论的序号是
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
②③
【解析】
我们很熟悉的问题是：“曲线 $C$ 是平面内与两个定点 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$ 的距离之比等于常数 $\lambda$（$\lambda>1$）的点的轨迹，$\cdots$”（见阿波罗尼斯圆）．研究这个问题所用的方法为用直译法写出轨迹方程，然后通过研究代数方程来探索轨迹的几何性质．
理解题意后可以写出轨迹方程$$\sqrt{(x+1)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}=a^2.$$据此考查三个结论：
① 曲线 $C$ 过坐标原点，即原点坐标 $(0,0)$ 是方程的解，显然不正确；
② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称，即若 $(x,y)\in C$，则 $(-x,-y)\in C$，显然正确；
③ 选用合适的面积公式$$S_{\triangle F_1PF_2}=\dfrac 12\cdot|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \sin\angle F_1PF_2\leqslant \dfrac 12a^2.$$因此 ③ 正确．
理解题意后可以写出轨迹方程$$\sqrt{(x+1)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}=a^2.$$据此考查三个结论：
① 曲线 $C$ 过坐标原点，即原点坐标 $(0,0)$ 是方程的解，显然不正确；
② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称，即若 $(x,y)\in C$，则 $(-x,-y)\in C$，显然正确；
③ 选用合适的面积公式$$S_{\triangle F_1PF_2}=\dfrac 12\cdot|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \sin\angle F_1PF_2\leqslant \dfrac 12a^2.$$因此 ③ 正确．
题目
答案
解析
备注
