在平面直角坐标系中，动点 $P\left( {x,y} \right)$ 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 $\left( {1,1} \right)$ 的距离，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $W$．
$(1)$ 给出下列三个结论：
① 曲线 $W$ 关于原点对称；
② 曲线 $W$ 关于直线 $y = x$ 对称；
③ 曲线 $W$ 与 $x$ 轴非负半轴，$y$ 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 $\dfrac{1}{2}$；
其中，所有正确结论的序号是 ．
$(2)$ 曲线 $W$ 上的点到原点距离的最小值是 ．
$(1)$ 给出下列三个结论：
① 曲线 $W$ 关于原点对称；
② 曲线 $W$ 关于直线 $y = x$ 对称；
③ 曲线 $W$ 与 $x$ 轴非负半轴，$y$ 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 $\dfrac{1}{2}$；
其中，所有正确结论的序号是
$(2)$ 曲线 $W$ 上的点到原点距离的最小值是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1)$ ②③；$(2)$ $2-\sqrt 2$
【解析】
不妨设 $P(x,y)$，据题意有$$|x|+|y|=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2},$$化简得曲线方程为：$$\begin{cases} y=\dfrac {1-x}{1+x},x \geqslant 0,y \geqslant 0,\\ y=1,x\leqslant 0,\\ x=1,y \leqslant 0, \\ y=\dfrac {1-x}{1+x},x<0,y<0.\end{cases}$$曲线如下：
$(1)$ 由图象易知，②③ 正确．
$(2)$ 显然点 $(\sqrt 2-1,\sqrt 2-1)$ 到原点的距离最小，为$$\sqrt {(\sqrt 2-1)^2+(\sqrt 2-1)^2}=2-\sqrt 2.$$
$(1)$ 由图象易知，②③ 正确．$(2)$ 显然点 $(\sqrt 2-1,\sqrt 2-1)$ 到原点的距离最小，为$$\sqrt {(\sqrt 2-1)^2+(\sqrt 2-1)^2}=2-\sqrt 2.$$
题目
答案
解析
备注
