曲线 $C$ 是平面内到直线 ${l_1}:x = - 1$ 和直线 ${l_2}:y = 1$ 的距离之积等于常数 ${k^2}\left( {k > 0} \right)$ 的点的轨迹．给出下列四个结论：
① 曲线 $C$ 过点 $\left( - 1,1\right)$；
② 曲线 $C$ 关于点 $\left( - 1,1\right)$ 对称；
③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，点 $A,B$ 分别在直线 ${l_1},{l_2}$ 上，则 $\left| {PA} \right| + \left| {PB} \right|$ 不小于 $2k$；
④ 设 ${P_0}$ 为曲线 $C$ 上任意一点，则点 ${P_0}$ 关于直线 $x = - 1$，点 $\left( - 1,1\right)$ 及直线 $y = 1$ 对称的点分别为 ${P_1}$，${P_2}$，${P_3}$，则四边形 ${P_0}{P_1}{P_2}{P_3}$ 的面积为定值 $4k{}^2$．
其中，所有正确结论的序号是 ．
① 曲线 $C$ 过点 $\left( - 1,1\right)$；
② 曲线 $C$ 关于点 $\left( - 1,1\right)$ 对称；
③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，点 $A,B$ 分别在直线 ${l_1},{l_2}$ 上，则 $\left| {PA} \right| + \left| {PB} \right|$ 不小于 $2k$；
④ 设 ${P_0}$ 为曲线 $C$ 上任意一点，则点 ${P_0}$ 关于直线 $x = - 1$，点 $\left( - 1,1\right)$ 及直线 $y = 1$ 对称的点分别为 ${P_1}$，${P_2}$，${P_3}$，则四边形 ${P_0}{P_1}{P_2}{P_3}$ 的面积为定值 $4k{}^2$．
其中，所有正确结论的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②③④
【解析】
由题意知，曲线 $C$ 为两条双曲线．其中一条为双曲线$$y=\dfrac {k^2}{x+1}+1;$$另一条双曲线为该双曲线关于 $x$ 轴对称后所得．
因此 ① 错误，② 正确．
对 ③，因为$$\left| {PA} \right| + \left| {PB} \right|\geqslant 2\cdot \sqrt{|PA|\cdot |PB|}=2k,$$所以 ③ 正确．
对 ④，设点 $P_0$ 的坐标为 $(x,y)$．
由题意知，$$xy=k^2,$$所以四边形 $P_0P_1P_2P_3$ 的面积为$$2x\cdot 2y=4xy=4k^2.$$所以 ④ 正确．
因此 ① 错误，② 正确．
对 ③，因为$$\left| {PA} \right| + \left| {PB} \right|\geqslant 2\cdot \sqrt{|PA|\cdot |PB|}=2k,$$所以 ③ 正确．
对 ④，设点 $P_0$ 的坐标为 $(x,y)$．
由题意知，$$xy=k^2,$$所以四边形 $P_0P_1P_2P_3$ 的面积为$$2x\cdot 2y=4xy=4k^2.$$所以 ④ 正确．
题目
答案
解析
备注
