已知曲线 $C$：$\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$，曲线 $C$ 关于直线 $y = 2x$ 对称的曲线为曲线 $C'$，曲线 $C'$ 与曲线 $C''$ 关于直线 $y = - \dfrac{1}{2}x + 5$ 对称，求曲线 $C'$、$C''$ 的方程．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
$C':{\left( {4y - 3x} \right)^2} + 4{\left( {3y + 4x} \right)^2} = 100$，$C'':\dfrac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{4} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 1$
【解析】
曲线 $F\left( {x,y} \right) = 0$ 关于直线 $Ax + By + C = 0$ 成轴对称的曲线是：$$F\left( {x - \dfrac{{2A\left( {Ax + By + C} \right)}}{{{A^2} + {B^2}}},y - \dfrac{{2B\left( {Ax + By + C} \right)}}{{{A^2} + {B^2}}}} \right) = 0.$$直线 $y = 2x$，即 $2x - y = 0$，直线 $y = - \dfrac{1}{2}x + 5$，即 $x + 2y - 10 = 0$．
所以曲线$$C':\dfrac{{{{\left[ {x - \dfrac{{4\left( {2x - y} \right)}}{5}} \right]}^2}}}{4} + {\left[ {y + \dfrac{{2\left( {2x - y} \right)}}{5}} \right]^2} = 1,$$即$${\left( {4y - 3x} \right)^2} + 4{\left( {3y + 4x} \right)^2} = 100.$$整理得$$73{x^2} + 72xy + 52{y^2} = 100.$$曲线 $C''$：考虑到 $\dfrac{{4y - 3x}}{5}$ 在第二次对称变换下变为$$\begin{split} &\dfrac{{4\left[ {y - \dfrac{{4\left( {x + 2y - 10} \right)}}{5}} \right] - 3\left[ {x - \dfrac{{2\left( {x + 2y - 10} \right)}}{5}} \right]}}{5}\\=&\dfrac{{4\left( { - 3y - 4x + 40} \right) - 3\left( {3x - 4y + 20} \right)}}{{25}}\\=&4 - x,\end{split} $$类似的 $\dfrac{{3y + 4x}}{5}$ 变为 $8 - y$，所以 $C''$ 的方程为$$\dfrac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{4} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 1.$$事实上，曲线 $C''$ 与曲线 $C$ 关于点 $\left( {2,4} \right)$ 对称．
所以曲线$$C':\dfrac{{{{\left[ {x - \dfrac{{4\left( {2x - y} \right)}}{5}} \right]}^2}}}{4} + {\left[ {y + \dfrac{{2\left( {2x - y} \right)}}{5}} \right]^2} = 1,$$即$${\left( {4y - 3x} \right)^2} + 4{\left( {3y + 4x} \right)^2} = 100.$$整理得$$73{x^2} + 72xy + 52{y^2} = 100.$$曲线 $C''$：考虑到 $\dfrac{{4y - 3x}}{5}$ 在第二次对称变换下变为$$\begin{split} &\dfrac{{4\left[ {y - \dfrac{{4\left( {x + 2y - 10} \right)}}{5}} \right] - 3\left[ {x - \dfrac{{2\left( {x + 2y - 10} \right)}}{5}} \right]}}{5}\\=&\dfrac{{4\left( { - 3y - 4x + 40} \right) - 3\left( {3x - 4y + 20} \right)}}{{25}}\\=&4 - x,\end{split} $$类似的 $\dfrac{{3y + 4x}}{5}$ 变为 $8 - y$，所以 $C''$ 的方程为$$\dfrac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{4} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 1.$$事实上，曲线 $C''$ 与曲线 $C$ 关于点 $\left( {2,4} \right)$ 对称．
答案
解析
备注
