已知 $C$ 是以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径的圆周，两点 $P$、$P'$ 在以 $O$ 为起点的射线上，并且满足 $\left| {OP} \right| \cdot \left| {OP'} \right| = {r^2}$，则称 $P,P'$ 关于圆周 $C$ 对称．那么，双曲线 ${x^2} - {y^2} = 1$ 上的点 $P\left( {x,y} \right)$ 关于单位圆周 $C$：${x^2} + {y^2} = 1$ 的对称点 $P'$ 所满足的方程为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
化为极坐标系，则 $P\left( {\rho ,\theta } \right)$ 关于圆周 $C$ 对称的点为 $P'\left( {\dfrac{{{r^2}}}{\rho },\theta } \right)$．
因为双曲线 ${x^2} - {y^2} = 1$，所以$${\rho ^2}{\cos ^2}\theta - {\rho ^2}{\sin ^2}\theta = 1,$$且关于单位圆周 $C$ 对称的方程为$$\dfrac{1}{{{\rho ^2}}}{\cos ^2}\theta - \dfrac{1}{{{\rho ^2}}}{\sin ^2}\theta = 1,$$即$${\rho ^2}{\cos ^2}\theta - {\rho ^2}{\sin ^2}\theta = {\rho ^4},$$也即$${x^2} - {y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}.$$
因为双曲线 ${x^2} - {y^2} = 1$，所以$${\rho ^2}{\cos ^2}\theta - {\rho ^2}{\sin ^2}\theta = 1,$$且关于单位圆周 $C$ 对称的方程为$$\dfrac{1}{{{\rho ^2}}}{\cos ^2}\theta - \dfrac{1}{{{\rho ^2}}}{\sin ^2}\theta = 1,$$即$${\rho ^2}{\cos ^2}\theta - {\rho ^2}{\sin ^2}\theta = {\rho ^4},$$也即$${x^2} - {y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}.$$
题目
答案
解析
备注
