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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27190 590c27bc857b4200085f8596 高中 解答题 高中习题 求证：任取四个不同的正整数，一定可以用 $24$ 点的规则（用四则运算符号和括号连接这四个数）算出一个 $24$ 的倍数． 2022-04-17 21:57:01
26754 59681b230303980008983dad 高中 解答题 自招竞赛 正五边形 $ABCDE$ 的对角线 $BE$ 分别与对角线 $AD$，$AC$ 交于点 $F$，$G$，对角线 $BD$ 分别与对角线 $CA$，$CE$ 交于点 $H$，$I$，对角线 $CE$ 与对角线 $AD$ 交于点 $J$，设由图中 $10$ 个点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 和线段构成的等腰三角形的集合为 $M$． 2022-04-17 20:53:57
26599 5961010e3cafba0009670bb2 高中 解答题 高中习题 对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$） 2022-04-17 20:31:56
25359 590c212d857b4200085f8541 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A = \left\{ {x \in {\mathbb{Z}}\mid x \geqslant 10} \right\}$，$B$ 是 $A$ 的子集，且 $B$ 中的元素满足：
① 各个数字互不相同；
② 任意两个数字之和不等于 $9$．		 2022-04-17 20:10:45
25288 59128ce7e020e7000a798bc7 高中 解答题 自招竞赛 一个平面，由红点和蓝点组成，而且既有红点也有蓝点．对于给定的任意长度 $a$（$a > 0$），证明： 2022-04-17 20:29:44
24551 59150d311edfe2000ade98eb 高中 解答题 高中习题 如果数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_m \left(m\in\mathbb{Z}, m\geqslant 3\right)$ 满足：
① 对任意 $i=1,2,\cdots,m$，都有 $a_i\in\mathbb{Z}$ 且 $-\dfrac{m}{2}\leqslant a_i\leqslant \dfrac{m}{2}$；
② $a_1+a_2+\cdots+a_m=1$，
那么称数列 $A$ 为“$\Omega$ 数列”．		 2022-04-17 20:46:37
20894 5c78f21b210b28428f14cfc6 高中 解答题 自招竞赛 若一组正数组成的集合中，存在三个不同的数可以作为一个非退化三角形的三边长，则称此集合具有三角形性质．若连续正整数集合 $\left\{ 4 ,5 ,6 ,\cdots ,n \right\}$ 的所有10元子集都具有三角形的性质，则 $n$ 的最大可能值是多少？ 2022-04-17 20:01:04
20875 5c6fa091210b28428f14c90a 高中 解答题 自招竞赛 哈罗德、坦尼亚和尤利西斯给一条长栅栏涂漆．哈罗德从第一根开始徐漆，每隔 $h$ 根栅栏涂一个；坦尼亚从第二根开始涂漆，每隔 $t$ 根栅栏涂一个；尤利西斯从第三根开始涂漆，每隔 $u$ 根栅栏涂一个．若正整数数组 $\left( h ,t, u \right)$ 使得每根栅栏恰被涂一次漆，则称 $100h+10t+u$ 为可上漆数．求所有的可上漆数之和． 2022-04-17 20:50:03
20787 5c74ea53210b284290fc23da 高中 解答题 自招竞赛 如表23-1和表23-2所示，将写有1到 ${{2}_{n}}$ 编号的一叠卡片 $M$ 按顺序从上到下排列，把上面的前 $n$ 张卡片保持原来的顺序取出，组成 $A$ 堆，剩下的卡片组成 $B$ 堆。轮流从 $A$、$B$ 堆的上面各取一张并叠起来组成新的一叠卡片 $C$ 堆，在这个过程中，卡片 $n+1$ 在 $C$ 堆的最下面，卡片1在卡片 $n+1$ 的上面，以此类推，直到 $A$、$B$ 堆都取完。在重组后，、堆至少有一张卡片在 $C$ 堆的位置与它在最开始一叠卡片中的位置相同，那么称 $C$ 堆为魔术牌。例如，8张卡片可以组成一叠魔术牌，因为卡片3和卡片6在 ${C}'$ 和 ${M}'$ 堆中所处的位置相同。在一叠卡片中，卡片131在 $C$ 堆和 $M$ 堆中所处的位置相同，试求这叠卡片的数量。 2022-04-17 20:01:03
20774 5c74fe90210b284290fc242b 高中 解答题 自招竞赛 令 $S$ 是表示形如0。 $\overline{abc}$ 循环小数的实数集，其中 $a b c$ 是各不相同的数码，试求 $S$ 中所有元素的和。 2022-04-17 20:53:02
20769 5c74febd210b284290fc2445 高中 解答题 自招竞赛 有一组8个棱长为分别为1，2，…，8的立方体。现在要用这八个立方体修建一座塔（每个立方体都必须用到），并要按照以下规则
（1）塔的最低端可出现任一个立方体；
（2）在棱长为 $k$ 的立方体上面放置的立方体棱长至多为 $k+2$ 。
令 $T$ 为可建造的不同的塔的个数，试求 $T$ 被1000除的余数。		 2022-04-17 20:51:02
20745 5c75f9bb210b28428f14cd0f 高中 解答题 自招竞赛 数轴的原点处有一点青蛙，它可以按照以下规则移动：每一次，青蛙或者跳到比其所在位置大的最小的 $3$ 的倍数处，或者跳到比其所在位置大的最小的13的倍数处。一个移动序列是指从 $0$ 跳到 $39$ 的一种移动方式中，青蛙所经过的各点坐标形成的序列。例如，$0$，$3$，$6$，$13$，$15$，$26$，$39$ 是一个移动序列。求青蛙可能形成的所有移动序列的个数。 2022-04-17 20:38:02
20742 5c75f9f0210b28428f14cd21 高中 解答题 自招竞赛 将下面的 $6\times 4$ 方格表（如图）里 $24$ 个格子中的 $12$ 个涂上阴影，使得每一行恰有两个涂了阴影的方格，每一列恰有三个涂了阴影的方格。设 $N$ 是满足这样要求的涂阴影的方法数，求 $N$ 被1000除所有的余数。 2022-04-17 20:36:02
20734 5c75fff1210b284290fc24e2 高中 解答题 自招竞赛 方程 $9x+223y=2007$ 的图像画在方格纸上，方格纸上的每个小方格称为一个单元格，在第一象限有多少个单元格完全在图像的下方？ 2022-04-17 20:32:02
20726 5c761a48210b28428f14cd79 高中 解答题 自招竞赛 在参加学校聚会的学生中有 $60%$ 是女生，有 $40%$ 的学生喜欢跳舞．随后又来了 $20$ 名喜欢跳舞的男生，这时聚会的人中有 $58%$ 是女生．那么现在聚会的人中有多少人喜欢跳舞？ 2022-04-17 20:28:02
20718 5c761a98210b284290fc2513 高中 解答题 自招竞赛 同样规格的木箱的长、宽、高分别是3英尺、4英尺、6英尺．第一个木箱放置在地面上，其余9个木箱依次被放置于前一个木箱的上面，且每个木箱的朝向完全随机的．设堆放木箱的高度正好为41英尺的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m$． 2022-04-17 20:23:02
20703 5c762056210b28428f14cdd1 高中 解答题 自招竞赛 图26-3所示是一个 $4\times 4$ 的点阵，最近的两个点相距为1个单位，定义一个生长路径是点阵中不同点之间的一个序列，且连续两点之间的距离严格单调（这个点列中第1、2个点间距离小于第2、3个点间距离，第2、3个点间距离于第3、4个点间距离……）．一条生长路径所含点数目的最大值为 $m$，恰好含有 $m$ 个点的生长路径一共有 $r$ 条，求 $m\cdot r$ 的值． 2022-04-17 20:13:02
20691 5c763c5b210b28428f14ce28 高中 解答题 自招竞赛 考查由所有的 $\vartriangle OPQ$ 组成的集合，其中 $O$ 是原点，$P$，$Q$ 是面上两互异的点，它们的坐标 $\left( x ,y \right)$ 都满足 $41x+y=2009$ 的非负整数对．求面积为正整数的 $\vartriangle ABI$ 的个数． 2022-04-17 20:06:02
20688 5c77424a210b284290fc2580 高中 解答题 自招竞赛 在开始油漆之前，Bill有130盎司蓝漆、164盎司红漆、188盎司白漆，Bill将一面墙漆成四条大小一样的条纹，蓝色、红色、白色以及粉红色各一条，其中粉红色是由白色和红色混合而成，但混合的比例不一定是相等的．当Bill油漆完墙后，他还剩下等量的蓝、红、白漆．求剩余的油漆总量． 2022-04-17 20:05:02
20672 5c774c9c210b28428f14ceaa 高中 解答题 自招竞赛 如果集合 $A$，$B$ 和 $C$ 满足 $\left| A\bigcap B \right|=\left| B\bigcap C \right|=\left| C\bigcap A \right|=1$ 且 $A\bigcap B\bigcap C=\varnothing $，则我们称有序三元组 $\left( A B C \right)$ 为最小相交。例如，$\left( \left| 1 ,2 \right| \left| 2 ,3 \right| \left| 1, 3, 4 \right| \right)$ 是一个最小相交的三元组。在由集合 $\left\{ 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 \right\}$ 的子集构成的所有有序三元组中，令 $N$ 为最小相交的有序与三元组的个数。求 $N$ 除以1000的余数（$\left| S \right|$ 表示集合 $S$ 中的元素的个数）。 2022-04-17 20:57:01
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