题目 正五边形 $ABCDE$ 的对角线 $BE$ 分别与对角线 $AD$，$AC$ 交于点 $F$，$G$，对角线 $BD$ 分别与对角线 $CA$，$CE$ 交于点 $H$，$I$，对角线 $CE$ 与对角线 $AD$ 交于点 $J$，设由图中 $10$ 个点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 和线段构成的等腰三角形的集合为 $M$．<br><img src="/static/images/b6d33a578de5e15cc997a45044dee696.png" class="img-responsive" /> 问题1 求 $M$ 中元素的个数； 答案1 $35$ 解析1 因为由图中的 $10$ 个点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 和线段构成的三角形均为等腰三角形，所以$$|M|=\mathrm C_5^3+4\mathrm C_5^4+5\mathrm C_5^5=35.$$ 备注1 问题2 若将这 $10$ 个点中每个点任意染色为红蓝两种颜色之一，问是否一定存在 $M$ 中的一个等腰三角形，其三个顶点同色？ 答案2 一定存在 解析2 由抽屉原理，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 中一定有三个点同色，且这三个点构成的三角形属于 $M$．因此一定存在 $M$ 中的一个等腰三角形，其三个顶点同色． 备注2 问题3 若将这 $10$ 个点中的任意 $n$ 个点染为红色，使得一定存在 $M$ 中的一个等腰三角形，其三个顶点同为红色，求 $n$ 的最小值． 答案3 $6$ 解析3 <case>情形一</case> 若 $n=5$，将 $F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 染为红色，则不存在属于 $M$ 的顶点同为红色的三角形．<br/><case>情形二</case> 若 $n \geqslant 6$，当 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 中有不少于三个红点时，一定存在属于 $M$ 且顶点同为红色的三角形；当 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 中少于三个红点时，$F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 中至少有 $4$ 个红点．<br/>若 $F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 中恰有 $4$ 个红点，不妨假设 $F$，$G$，$H$，$J$ 为红点，则 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 中至少有两个红点．<br/>若 $A$，$B$，$E$ 中有一个点是红点，不妨假设 $A$ 为红点，则 $\triangle AFG$ 是属于 $M$ 且顶点同为红色的三角形．<br/>否则 $C$，$D$ 同为红色，于是 $\triangle CDH$ 是属于 $M$ 且顶点同为红色的三角形．<br/>若 $F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 均为红色，则 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 中至少有一个点为红色，不妨假设 $A$ 为红色，则 $\triangle AFG$ 属于 $M$ 且顶点同为红色的三角形．<br/>因此 $n$ 的最小值为 $6$． 备注3