对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
取 $p+1$ 个数：$1,11,111,\cdots,\underbrace{11\cdots 1}_{(n+1)\text{个}1}$，根据抽屉原理，其中必有两个数模 $p$ 同余．设$$\underbrace{11\cdots 1}_{i\text{个}1}\equiv \underbrace{11\cdots 1}_{j\text{个}1} \pmod p,$$其中 $1\leqslant i<j \leqslant p+1$．令$$n=\underbrace{11\cdots 1}_{j\text{个}1}-\underbrace{11\cdots 1}_{i\text{个}1}=\underbrace{11\cdots 1}_{(j-i)\text{个}1}\underbrace{00\cdots 0}_{i\text{个}0},$$则 $p\mid n$．因为 $p$ 为大于 $7$ 的素数，故 $p$ 与 $10$ 互素，所以 $p \mid \dfrac {n}{10^i}$，即 $p\mid \underbrace {11\cdots1}_{(j-i)\text{个}1}$，证毕．
答案
解析
备注
