求证：任取四个不同的正整数，一定可以用 $24$ 点的规则（用四则运算符号和括号连接这四个数）算出一个 $24$ 的倍数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
分以下两种情形讨论．
情形一 四个数中有 $4$ 的倍数．若剩下的 $3$ 个数中有 $6$ 的倍数，那么命题显然成立．否则按模 $6$ 作三个抽屉，分别余 $\pm 1,\pm 2,\pm 3$，若剩下的三个数分别在三个不同的抽屉中，那么它们之间用 $+,-$ 连接可以得到 $6$ 的倍数；若 $b,c,d$ 中有两个在同一个抽屉中，那么这两个数可以用 $+,-$ 连接得到 $6$ 的倍数．最后相乘就可以得到 $24$ 的倍数．
情形二 四个数中没有 $4$ 的倍数，那么按照模 $8$ 作三个抽屉，分别余 $\pm 1,\pm 2,\pm 3$，这样至少有 $2$ 个数在同一个抽屉中，它们用 $+,-$ 连接可以得到 $8$ 的倍数．剩下的两个数中若有 $3$ 的倍数，那么命题显然成立．否则按模 $3$ 余数必然为 $\pm 1$，这样它们之间用 $+,-$ 连接可以得到 $3$ 的倍数．最后相乘就可以得到 $24$ 的倍数．
综合以上情形，命题得证．
综合以上情形，命题得证．
答案
解析
备注
