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设集合 $A = \left\{ {x \in {\mathbb{Z}}\mid x \geqslant 10} \right\}$，$B$ 是 $A$ 的子集，且 $B$ 中的元素满足：
① 各个数字互不相同；
② 任意两个数字之和不等于 $9$．
【难度】
【出处】
2013年清华大学等多校联考自主选拔考试
【标注】
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    计数与概率
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    加法原理与乘法原理
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    组合数学
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    抽屉原理
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    计数与概率
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    加法原理与乘法原理
  1. 集合 $B$ 中的两位数与三位数各有多少个？
    标注
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      计数与概率
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      加法原理与乘法原理
    答案
    $432$
    解析
    集合 $B$ 中的两位数，十位数字为 $1$ 的数，个位数字不能为 $1$ 和 $8$，所以有 $8$ 个．
    同理，十位数字为 $2$ 的数，个位数字不能为 $2$ 和 $7$，所以有 $8$ 个．
    依次类推，集合 $B$ 中的两位数共有 $9 \times 8 = 72$ 个．
    集合 $B$ 中的三位数，百位数字共有 $9$ 种选择．
    选定了百位数字后，十位数字有 $8$ 种选择，个位数字有6种选择，
    所以B中的三位数共有 $9 \times 8 \times 6 = 432$ 个．
  2. 集合 $B$ 中是否有五位数？是否有六位数？
    标注
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      组合数学
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      抽屉原理
    答案
    $B$ 中有五位数，没有六位数
    解析
    $B$ 中有五位数，没有六位数．
    因为从每对和为 $9$ 的数 $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(9,0)$ 中任取一位，可以得到一个五位数（首位不为零即可），如 $12349$；但如果取六个数，则必有两个数的和为 $9$．
  3. 将集合 $B$ 中的数从小到大排列，第 $1081$ 个数是什么？
    标注
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      加法原理与乘法原理
    答案
    $4012$
    解析
    在集合 $B$ 中，两位数与三位数共有 $504$ 个；
    四位数中千位数字相同的数各有 $8 \times 6 \times 4 = 192$ 个．
    因此第 $1081$ 个数是千位数字为 $4$ 的第一个数，它是 $4012$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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