题目 如果数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_m \left(m\in\mathbb{Z}, m\geqslant 3\right)$ 满足：<br/>① 对任意 $i=1,2,\cdots,m$，都有 $a_i\in\mathbb{Z}$ 且 $-\dfrac{m}{2}\leqslant a_i\leqslant \dfrac{m}{2}$；<br/>② $a_1+a_2+\cdots+a_m=1$，<br/>那么称数列 $A$ 为“$\Omega$ 数列”． 问题1 已知数列 $M:-2,1,3,-1$，数列 $N:0,1,0,-1,1$，试判断数列 $M,N$ 是否为“$\Omega$ 数列”； 答案1 数列 $M$ 不是“$\Omega$ 数列”，数列 $N$ 是“$\Omega$ 数列” 解析1 略 备注1 问题2 是否存在一个等差数列是“$\Omega$ 数列”，请证明你的结论； 答案2 不存在 解析2 不存在一个等差数列是“$\Omega$ 数列”．否则，$a_1+a_m=\dfrac{2}{m}\notin \mathbb{Z}$，矛盾 备注2 问题3 如果数列 $A$ 是“$\Omega$ 数列”，求证：数列 $A$ 中必定存在若干项之和为 $0$． 答案3 略 解析3 将 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 重新排列为 $b_1,b_2,\cdots,b_m$，记 $S_k$ 为数列 $B:b_1,b_2,\cdots,b_m$ 的前 $k$ 项和．<br/><case>第一步</case> $b_1$ 任意取一正数项（这样的项必然存在，否则与与所有项之和为 $1$ 矛盾）；<br/><case>第二步</case> $b_2$ 取与 $S_1$ 异号的项或零（这样的项必然存在，否则与所有项之和为 $1$ 矛盾）；<br/><case>第三步</case> $b_3$ 取于 $S_2$ 异号（若 $S_2$ 为零，则命题已经成立）的项或零；<br/><case>依次类推</case> $b_k$（$k\geqslant 2,k\in\mathbb N^*$）取与 $S_{k-1}$ 异号的项或零，直到 $b_m$．<br/><case>结论</case>考虑数列 $S:S_1,S_2,\cdots,S_m$，根据之前的构造，必然有$$-\dfrac m2 +1\leqslant S_k \leqslant \dfrac m2,$$其中 $k=1,2,\cdots,m$．由于在区间 $\left[-\dfrac m2+1,\dfrac m2\right]$ 之间只有 $m-1$ 个整数，因此必然存在 $k_1,k_2$（$k_1,k_2\in\mathbb N^*$，$1\leqslant k_1<k_2\leqslant m$）使得 $ S_{k_1}=S_{k_2}$，此时有\[a_{k_1+1}+\cdots+a_{k_2}=0,\]命题得证． 备注3