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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20881 5c6fa059210b284290fc2132 高中 解答题 自招竞赛 简25岁，迪克的年龄比间大．$n$（$n$ 为正整数）年后，迪克和简的年龄都是两位数，且简的年龄可以由迪克年龄的两位数交换十位与个位数字而得到．设迪克现在的年龄为 $d$，请问存在多少组可能的 $\left( d n \right)$？ 2022-04-17 20:53:03
20876 5c6fa089210b284290fc213c 高中 解答题 自招竞赛 求最小的整数 $k$，使得至少有两个数列满足下列条件：
（1）${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…是不减的正整数数列；
（2）${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$，$n>2$；
（3）${{a}_{9}}=k$．		 2022-04-17 20:51:03
20873 5c6fa0a1210b28428f14c914 高中 解答题 自招竞赛 11．设 $ABCD$，$BCFG$ 为正方体的两个面，$AB=12$．一束光从点 $A$ 射出，反射在面 $BCFG$ 上点 $P$ 处，其中 $P$ 到 $BG$，$BC$ 边的距离分别是7，5．光线继续反射到立方体的其他面上，在从点 $A$ 处离开直到下一次反射到正方体的某个顶点上的时间内，光线经过的路程长为 $m\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 均为整数，$n$ 不能被任何素数的平均整除．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:49:03
20869 5c6fa0c2210b28428f14c929 高中 解答题 自招竞赛 多面体 $ABCDEFG$ 有六个面，其中 $ABCD$ 是正方形，$AB=12$；$ABFG$ 为梯形，$AB\parallel GF$，$BF=AG=8$，$GF=6$；面 $CDE$ 中 $CE=DE=14$．另三个面分别是 $ADEG$，$BCEF$，$EFG$．点 $E$ 到 $ABCD$ 所在面的距离为12．给定 $E{{G}^{2}}=p-q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$，$r$ 均为正整数，$r$ 不能被任意素数的平方整除．求 $p+q+r$ 的值． 2022-04-17 20:46:03
20865 5c6fb649210b28428f14c94e 高中 解答题 自招竞赛 在庭院中建造花园时，通常在花园周围的边界上铺上 $n$ 块1单位的正六边形砖块，边连着边铺出花园的轮廓．如图是当 $n=5$ 时，花园周围的砖块走道示意图．
当 $n=202$，砖块走道围成的花园面积（不包含走道面积）为 $m\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 平方单位，其中 $m$ 为正整数，试求 $m$ 被1000整除的余数．		 2022-04-17 20:44:03
20863 5c6fb65e210b28428f14c95f 高中 解答题 自招竞赛 对于所有正整数 $k$，恒有 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}$．
试求最小正整数 $k$，使得 ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{k}^{2}}$ 是200的倍数．		 2022-04-17 20:42:03
20861 5c6fb66a210b28428f14c96a 高中 解答题 自招竞赛 用 $S$ 表示集合 $\left\{ 1,2,3,\cdots,10 \right\}$．设 $n$ 为 $S$ 中非空互斥子集的对数．（互斥集合定义为没有共同元素的两个集合．）试求 $n$ 被1000整除所得的余数． 2022-04-17 20:41:03
20856 5c6fb696210b28428f14c98a 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}}$ 和圆 ${{C}_{2}}$ 相交于两点，其中一点的坐标为 $\left( 9 ,6 \right)$，两圆半径的乘积等于68．$x$ 轴和直线 $y=mx$ 都与两圆相切，其中 $m>0$．已知 $m$ 可以表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，$b$ 不能被任何素数的平方整除，$a$，$c$ 互素．试求 $a+b+c$ 的值． 2022-04-17 20:39:03
20855 5c749c8d210b284290fc223b 高中 解答题 自招竞赛 正实数 $k$，$n$ 满足 $\frac{\left( \left( 3 ! \right) ! \right) !}{3 !}=k\cdot n !$，当 $n$ 取最大值时，求 $k+n$． 2022-04-17 20:38:03
20843 5c749df0210b284290fc2268 高中 解答题 自招竞赛 在不大于2003的正整数中，二进制表示下1比0多的数有 $m$ 个，求 $m$ 的后三位． 2022-04-17 20:31:03
20841 5c74ab59210b28428f14cb21 高中 解答题 自招竞赛 $a ,b ,c$ 是三个正整数，$N=abc=6\left( a+b+c \right)$，$c=a+b$．求 $N$ 的所有可能值之和． 2022-04-17 20:30:03
20840 5c74ab61210b284290fc229d 高中 解答题 自招竞赛 设 $N$ 是由数字 $0\tilde{ }9$ 组成的10位整数（每个阿拉伯数字只能出现一次）中最大的8的倍数．求 $N$ 被1000除的余数． 2022-04-17 20:29:03
20834 5c74abaa210b284290fc22ba 高中 解答题 自招竞赛 设 $a b c$ 是三个正整数，满足 $a=b+60$，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}$，且 $\sqrt{c}$ 不是整数（即 $c$ 不是一个完全平方数）．令 $s=a+b$，求 $s$ 的最大可能值． 2022-04-17 20:27:03
20833 5c74abb1210b284290fc22c0 高中 解答题 自招竞赛 如图21-6所示，在 $\operatorname{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle C$ 是直角，$AC=7$，$BC=24$．点 $M$ 是边 $AB$ 的中点．平面上一点 $D$ 满足 $AD=BD=15$．设 $\vartriangle CDM$ 的面积可以表示为 $\frac{m\sqrt{n}}{p}$ 的形式，其中 $m n p$ 都是正整数，$m p$ 互素，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n+p$． 2022-04-17 20:27:03
20830 5c74abcb210b284290fc22cb 高中 解答题 自招竞赛 设 $A\left( 0 ,0 \right) B\left( b ,2 \right)$ 为坐标平面上的点，凸六边形 $ABCDEF$ 的各边长度相等，$AB\parallel DE BC\parallel EF CD\parallel FA$，$\angle FAB=120{}^\circ $，六个顶点的纵坐标分别为 $0,2 ,4 ,6 ,8, 10$（不一定按照顺序）．这个六边形的面积可以表示为 $m\sqrt{n}$，其中 $m n$ 为正整数，$n$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n$． 2022-04-17 20:25:03
20826 5c74b805210b284290fc231e 高中 解答题 自招竞赛 $\text{Alpha}$ 和 $\text{Beta}$ 两个人参加了为期两天的问题求解竞赛，每个人在两天中要解答的问题满分共为 $500$ 分。 $\text{Alpha}$ 在第一天满分 $300$ 分的问题解答中获得 $160$ 分，在第二天满分为 $200$ 分的问题解答中获得 $140$ 分。 $\text{Beta}$ 第一天要解答的问题满分不是 $300$ 分，但两天中的每一天他都获得了一个正整数分数，另外，$\text{Beta}$ 每一天的正确率都低于 $\text{Alpha}$ 。 $\text{Alpha}$ 两天的平均正确率是 $\frac{300}{500}=\frac{3}{5}$ 。设 $\text{Beta}$ 两天平均正确率的最大可能值是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:24:03
20824 5c74b821210b284290fc2330 高中 解答题 自招竞赛 $\vartriangle ABC$ 的三边长分别是 $3$，$4$，$5$，矩形 $DEFG$ 的长为 $7$，宽为 $6$ 。线段 ${{s}_{1}}$ 把 $\vartriangle ABC$ 分割成三角形 ${{U}_{1}}$ 和梯形 ${{V}_{1}}$；线段 ${{s}_{2}}$ 把矩形 $DEFG$ 分为三角形 ${{U}_{2}}$ 和梯形 ${{V}_{2}}$，且 ${{U}_{1}}\sim {{U}_{2}}$，${{V}_{1}}\sim {{V}_{2}}$ 。若三角形 ${{U}_{1}}$ 面积的最小值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:23:03
20819 5c74b845210b28428f14cb92 高中 解答题 自招竞赛 定义在正整数集上的函数 $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& 1,x=1 \\
& x/10,x被10整除 \\
& x+1,其他 \\
\end{align} \right.$ 对于任意正整数 $x$，我们定义数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$
如下：${{x}_{1}}=x,{{x}_{n+1}}=f\left( {{x}_{n}} \right),n\in {{N}^{+}}$ 。定义 $d\left( x \right)$ 为满足 ${{x}_{n}}=1$ 的最小的 $n$ 。例如，$d\left( 100 \right)=3 d\left( 87 \right)=7$ 。设 $m$ 是满足 $d\left( x \right)=20$ 的正整数 $x$ 的个数，求 $m$ 的所有不同素因数之和。		 2022-04-17 20:20:03
20818 5c74d5ed210b28428f14cbb2 高中 解答题 自招竞赛 圆中的一条弦与此圆的某一半径垂直，并过此半径的中点。这条弦将此圆分成两个区域，大区域与小区域面积之比为 $\frac{a\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+b\sqrt{c}}{d\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-e\sqrt{f}}$，其中 $a b c d e f$ 均为正整数，$a$ 与 $e$ 互素，$e$ 与 $f$ 均不能被任何素数的平方所整除。试求乘积 $abcdef$ 除以 $1000$ 的余数。 2022-04-17 20:19:03
20814 5c74d610210b284290fc2377 高中 解答题 自招竞赛 为了完成一件大工程，雇请了 $1000$ 位工人，原计划恰可依照预定时间完成此工程。这 $1000$ 位工人一起工作，依照计划时间完成了前 $\frac{1}{4}$ 的工程，接着解雇了 $100$ 位工人后才继续做第二个 $\frac{1}{4}$ 的工程。然后做第三个 $\frac{1}{4}$ 工程之前又解雇了 $100$ 位工人，所以完成第三个 $\frac{1}{4}$ 的工程时，工程进度更为落后。假设每位工人的工作能力都一样，试问在完成了全部工程的第三个 $\frac{1}{4}$ 之后，除了现有的 $800$ 位工人外，在最后 $\frac{1}{4}$ 的工程至少应增加多少位工人，才能使得整个工程在最初预定的时间内或提前完成？ 2022-04-17 20:15:03
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