简25岁，迪克的年龄比间大．$n$（$n$ 为正整数）年后，迪克和简的年龄都是两位数，且简的年龄可以由迪克年龄的两位数交换十位与个位数字而得到．设迪克现在的年龄为 $d$，请问存在多少组可能的 $\left( d n \right)$？
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
25
【解析】
设迪克和简在 $n$ 年后的年龄分别是 $10x+y$，$10y+x$．那时，迪克比简大了 $9\left( x-y \right)$ 岁，两人的年龄和为 $11\left( x+y \right)$．迪克比简大的岁数永远是9的倍数，因此迪克的年龄可能是 $34$，$43$，$52$，$61$，$70$，$79$，$88$，$97$．假设迪克 $34$ 岁，那么两人的年龄和为 $59$．因为他们的年龄和永远是奇数，且直到 $77$ 才取到 $11$ 的倍数．因此 $n=\frac{1}{2}\left( 77-59 \right)=9$．每 $11$ 年之后，迪克两位数的年龄，将两位数互换得到另一位的年龄，那么迪克的年龄分别为 $43$，$54$，$65$，$76$，$87$，$98$．同样假设迪克的年龄为 $43$ 岁，两人的年龄和为 $68$，下一个年龄和能被 $11$ 整除，为 $88$，当迪克 $53$ 岁时，$n=10$．每 $11$ 年之后，直到迪克 $97$ 岁，他们的年龄数位可以互换，共有 $5$ 组可能．同理，当迪克为 $52$ 岁时有四组，当他 $61$ 岁时有四组，当他 $70$ 岁时有三组，在他 $79$ 岁时有两组，$88$ 岁时有一组，$97$ 岁时不存在这样的数对．因此共有 $6+5+4+4+3+2+1=25$ 组可能的 $\left(d n \right)$．
答案
解析
备注
