如图21-6所示，在 $\operatorname{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle C$ 是直角，$AC=7$，$BC=24$．点 $M$ 是边 $AB$ 的中点．平面上一点 $D$ 满足 $AD=BD=15$．设 $\vartriangle CDM$ 的面积可以表示为 $\frac{m\sqrt{n}}{p}$ 的形式，其中 $m n p$ 都是正整数，$m p$ 互素，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n+p$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
578
【解析】
如图21-11所示，设 $\angle CMD=\alpha $，$\angle AMC\text{=}\beta $，则易知 $AB=\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}=25$．由于 $M$ 是边 $AB$ 的中点，且 $\vartriangle ABC$ 为直角三角形，故 $CM=\frac{25}{2}$．由 $AD=BD$，$AM=BM$ 知 $DM\bot AB$．在 $\operatorname{Rt}\vartriangle ADM$ 中，$AD=15$，$AM=\frac{25}{2}$，故 $DM=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{5\sqrt{11}}{2}$．
注意到 $\alpha+\beta =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，$\beta =2\angle ABC$，故
$\sin\alpha =\cos \beta =1-2{{\sin }^{2}}\angle ABC=1-2\cdot {{\left( \frac{7}{25}\right)}^{2}}=\frac{527}{625}$．
因此 ${{S}_{\vartriangle CDM}}=\frac{1}{2}CM\cdot DM\cdot \sin \alpha =\frac{527\sqrt{11}}{40}$，即
$m+n+p=527+11+40=578$．
注意到 $\alpha+\beta =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，$\beta =2\angle ABC$，故$\sin\alpha =\cos \beta =1-2{{\sin }^{2}}\angle ABC=1-2\cdot {{\left( \frac{7}{25}\right)}^{2}}=\frac{527}{625}$．
因此 ${{S}_{\vartriangle CDM}}=\frac{1}{2}CM\cdot DM\cdot \sin \alpha =\frac{527\sqrt{11}}{40}$，即
$m+n+p=527+11+40=578$．
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