设 $A\left( 0 ,0 \right) B\left( b ,2 \right)$ 为坐标平面上的点，凸六边形 $ABCDEF$ 的各边长度相等，$AB\parallel DE BC\parallel EF CD\parallel FA$，$\angle FAB=120{}^\circ $，六个顶点的纵坐标分别为 $0,2 ,4 ,6 ,8, 10$（不一定按照顺序）．这个六边形的面积可以表示为 $m\sqrt{n}$，其中 $m n$ 为正整数，$n$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
51
【解析】
由条件易知四边形 $ABDE, BCEF, CDFA$ 均为平行四边形，故四条对角线 $AD, BE, CF$ 两两平分．因此 $D$ 点纵坐标为10，$E$ 点纵坐标为8，而 $C$ 点纵坐标不能为4，否则将导致 $A ,B, C$ 三点共线或六边形非凸，因此 $C$ 点坐标为6，$F$ 点坐标为4．
由对称性不妨设 $b>0$，注意到从 $B$ 到 $C$ 和从 $C$ 到 $D$ 的纵坐标变化相等，结合六边形是凸的且各边长度相等，可推出直线 $BC$ 的斜率为正，直线 $CD$ 的斜率为负，即直线 $FA$ 的斜率为负．
设 $a$ 为六边形的边长，$f$ 为 $F$ 点的横坐标，则 ${{f}^{2}}+16=A{{F}^{2}}={{a}^{2}}=A{{B}^{2}}={{b}^{2}}+4$，因此 $f=-\sqrt{{{a}^{2}}-16}$，$b=\sqrt{{{a}^{2}}-4}$．
在 $\vartriangle ABF$ 中应用余弦定理，得 $3{{a}^{2}}=B{{F}^{2}}={{\left(b-f \right)}^{2}}+4$．
因此 $\sqrt{{{a}^{2}}-4}+\sqrt{{{a}^{2}}-16}=\sqrt{3{{a}^{2}}-4}$，两边平方化简得
$2\sqrt{\left({{a}^{2}}-4 \right)\left( {{a}^{2}}-16 \right)}={{a}^{2}}+16$，
再平方化简，解得 ${{a}^{2}}=\frac{112}{3}$，因此 $b=\frac{10}{\sqrt{3}}$，$f=-\frac{8}{\sqrt{3}}$．
因此，六个顶点的坐标分别为 $A\left( 0 ,0 \right)$，$B\left( \frac{10}{\sqrt{3}, 2} \right)$，$C\left(6\sqrt{3} ,6 \right)$，$D\left( \sqrt{\frac{10}{\sqrt{3}}} ,10\right)$，$E\left(0, 8 \right)$，$F\left(-\frac{8}{\sqrt{3}} ,4 \right)$，故 ${{S}_{ABCDEF}}={{S}_{ABDE}}+2{{S}_{\vartriangle AEF}}=b\cdot AE+\left( -f \right)\cdot AE$
$=8\left( b-f\right)=48\sqrt{3}$，
即 $m+n=51$．
由对称性不妨设 $b>0$，注意到从 $B$ 到 $C$ 和从 $C$ 到 $D$ 的纵坐标变化相等，结合六边形是凸的且各边长度相等，可推出直线 $BC$ 的斜率为正，直线 $CD$ 的斜率为负，即直线 $FA$ 的斜率为负．
设 $a$ 为六边形的边长，$f$ 为 $F$ 点的横坐标，则 ${{f}^{2}}+16=A{{F}^{2}}={{a}^{2}}=A{{B}^{2}}={{b}^{2}}+4$，因此 $f=-\sqrt{{{a}^{2}}-16}$，$b=\sqrt{{{a}^{2}}-4}$．
在 $\vartriangle ABF$ 中应用余弦定理，得 $3{{a}^{2}}=B{{F}^{2}}={{\left(b-f \right)}^{2}}+4$．
因此 $\sqrt{{{a}^{2}}-4}+\sqrt{{{a}^{2}}-16}=\sqrt{3{{a}^{2}}-4}$，两边平方化简得
$2\sqrt{\left({{a}^{2}}-4 \right)\left( {{a}^{2}}-16 \right)}={{a}^{2}}+16$，
再平方化简，解得 ${{a}^{2}}=\frac{112}{3}$，因此 $b=\frac{10}{\sqrt{3}}$，$f=-\frac{8}{\sqrt{3}}$．
因此，六个顶点的坐标分别为 $A\left( 0 ,0 \right)$，$B\left( \frac{10}{\sqrt{3}, 2} \right)$，$C\left(6\sqrt{3} ,6 \right)$，$D\left( \sqrt{\frac{10}{\sqrt{3}}} ,10\right)$，$E\left(0, 8 \right)$，$F\left(-\frac{8}{\sqrt{3}} ,4 \right)$，故 ${{S}_{ABCDEF}}={{S}_{ABDE}}+2{{S}_{\vartriangle AEF}}=b\cdot AE+\left( -f \right)\cdot AE$
$=8\left( b-f\right)=48\sqrt{3}$，
即 $m+n=51$．
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解析
备注
