圆 ${{C}_{1}}$ 和圆 ${{C}_{2}}$ 相交于两点，其中一点的坐标为 $\left( 9 ,6 \right)$，两圆半径的乘积等于68．$x$ 轴和直线 $y=mx$ 都与两圆相切，其中 $m>0$．已知 $m$ 可以表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，$b$ 不能被任何素数的平方整除，$a$，$c$ 互素．试求 $a+b+c$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
282
【解析】
设 ${{r}_{1}}$，${{r}_{2}}$ 分别为圆 ${{C}_{1}}$ 和圆 ${{C}_{2}}$ 的半径，${{A}_{1}}$，${{A}_{2}}$ 分别为圆 ${{C}_{1}}$ 和圆 ${{C}_{2}}$ 的圆心，$P=\left( u v \right)$ 为两圆的交点，因为两圆有公共的外公切线，交于原点 $O$，推出由直线 $y=0$ 和直线 $y=mx$ 在第一象限组成的角被经过 $O$，${{A}_{1}}$，${{A}_{2}}$ 的射线平分，因此，${{A}_{1}}=\left( {{x}_{1}} k{{x}_{1}} \right)$，${{A}_{2}}=\left({{x}_{2}} k{{x}_{2}} \right)$，由二倍角公式 $\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }$，推出 $m=\frac{2k}{1-{{k}^{2}}}$．
现在，${{\left(P{{A}_{1}} \right)}^{2}}={{\left( k{{x}_{1}} \right)}^{2}}$，即 ${{\left(u-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( v-k{{x}_{1}} \right)}^{2}}={{k}^{2}}x_{1}^{2}$，
因此，$x_{1}^{2}-2\left(u+kv \right){{x}_{1}}+{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=0$．
同理可得 $x_{2}^{2}-2\left(u+kv \right){{x}_{2}}+{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=0$．
因此，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ 是方程 ${{x}^{2}}-2\left(u+kv \right)x+{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=0$ 的两根，即 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{u}^{2}}+{{v}^{2}}$，
所以 ${{r}_{1}}{{r}_{2}}={{k}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{k}^{2}}\left({{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)$．
因此，$k=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}}}$，$m=\frac{2k}{1-{{k}^{2}}}=\frac{2\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}\left({{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)}}{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}-{{r}_{1}}{{r}_{2}}}$．
当 $u=9$，$v=6$，${{r}_{1}}{{r}_{2}}=68$，推出 $m=\frac{12\sqrt{221}}{49}$，因此 $a+b+c=282$．
现在，${{\left(P{{A}_{1}} \right)}^{2}}={{\left( k{{x}_{1}} \right)}^{2}}$，即 ${{\left(u-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( v-k{{x}_{1}} \right)}^{2}}={{k}^{2}}x_{1}^{2}$，
因此，$x_{1}^{2}-2\left(u+kv \right){{x}_{1}}+{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=0$．
同理可得 $x_{2}^{2}-2\left(u+kv \right){{x}_{2}}+{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=0$．
因此，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ 是方程 ${{x}^{2}}-2\left(u+kv \right)x+{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=0$ 的两根，即 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{u}^{2}}+{{v}^{2}}$，
所以 ${{r}_{1}}{{r}_{2}}={{k}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{k}^{2}}\left({{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)$．
因此，$k=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}}}$，$m=\frac{2k}{1-{{k}^{2}}}=\frac{2\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}\left({{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)}}{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}-{{r}_{1}}{{r}_{2}}}$．
当 $u=9$，$v=6$，${{r}_{1}}{{r}_{2}}=68$，推出 $m=\frac{12\sqrt{221}}{49}$，因此 $a+b+c=282$．
答案
解析
备注
