$\text{Alpha}$ 和 $\text{Beta}$ 两个人参加了为期两天的问题求解竞赛，每个人在两天中要解答的问题满分共为 $500$ 分。 $\text{Alpha}$ 在第一天满分 $300$ 分的问题解答中获得 $160$ 分，在第二天满分为 $200$ 分的问题解答中获得 $140$ 分。 $\text{Beta}$ 第一天要解答的问题满分不是 $300$ 分，但两天中的每一天他都获得了一个正整数分数，另外，$\text{Beta}$ 每一天的正确率都低于 $\text{Alpha}$ 。 $\text{Alpha}$ 两天的平均正确率是 $\frac{300}{500}=\frac{3}{5}$ 。设 $\text{Beta}$ 两天平均正确率的最大可能值是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
849
【解析】
令 $\text{Beta}$ 在第一天的 $b$ 分问题解答中获得 $a$ 分，第二天 $d$ 分的问题解答中获得 $c$ 分。
依题意，$0 <\frac{b}{a}<\frac{8}{15} 0 <\frac{c}{d} <\frac{7}{10}$，且 $b+d=500$ 。
因此 $\frac{15}{8}a <b ,\frac{10}{7}c <d $，故 $\frac{15}{8}a+\frac{10}{7}c <b+d=500$ 。去分母得 $21a+16c <5600$ 。
当 $a+c$ 最大时，$\text{Beta}$ 两天的平均正确率最大，但我们有
$a+c<\frac{1}{16}\left( 21a+16c \right) <\frac{1}{16}\cdot 5600=350$ 。
注意到只有当 $a$ 比较小时，不等式两边的差距才不会太大，因此可以先假设 $a=1$，$c=348$，由上面的已知式解出 $b>\frac{15}{8}=1\frac{7}{8},d>\frac{3480}{7}=497\frac{1}{7}$，故当 $b=2 d=498$ 时，满足题目条件，故 $\text{Beta}$ 两天平均正确率的最大可能值是 $\frac{349}{500}$，因此 $m+n=849$ 。
依题意，$0 <\frac{b}{a}<\frac{8}{15} 0 <\frac{c}{d} <\frac{7}{10}$，且 $b+d=500$ 。
因此 $\frac{15}{8}a <b ,\frac{10}{7}c <d $，故 $\frac{15}{8}a+\frac{10}{7}c <b+d=500$ 。去分母得 $21a+16c <5600$ 。
当 $a+c$ 最大时，$\text{Beta}$ 两天的平均正确率最大，但我们有
$a+c<\frac{1}{16}\left( 21a+16c \right) <\frac{1}{16}\cdot 5600=350$ 。
注意到只有当 $a$ 比较小时，不等式两边的差距才不会太大，因此可以先假设 $a=1$，$c=348$，由上面的已知式解出 $b>\frac{15}{8}=1\frac{7}{8},d>\frac{3480}{7}=497\frac{1}{7}$，故当 $b=2 d=498$ 时，满足题目条件，故 $\text{Beta}$ 两天平均正确率的最大可能值是 $\frac{349}{500}$，因此 $m+n=849$ 。
答案
解析
备注
