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$\vartriangle ABC$ 的三边长分别是 $3$，$4$，$5$，矩形 $DEFG$ 的长为 $7$，宽为 $6$ 。线段 ${{s}_{1}}$ 把 $\vartriangle ABC$ 分割成三角形 ${{U}_{1}}$ 和梯形 ${{V}_{1}}$；线段 ${{s}_{2}}$ 把矩形 $DEFG$ 分为三角形 ${{U}_{2}}$ 和梯形 ${{V}_{2}}$，且 ${{U}_{1}}\sim {{U}_{2}}$，${{V}_{1}}\sim {{V}_{2}}$ 。若三角形 ${{U}_{1}}$ 面积的最小值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
  • 知识点
    >
    数论初步
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    相似三角形
【答案】
35
【解析】
如图所示，不妨设 $AC=3,BC=4,AB=5,DG=EF=6,DE=GF=7$ 。考虑被分割出来的四个小图形。显然 ${{U}_{2}}$ 是直角三角形，${{V}_{2}}$ 是直角梯形，故 ${{V}_{1}}$ 是直角梯形，因此 ${{s}_{1}}$ 必然平行于 $\vartriangle ABC$ 的一条直角边，即 ${{U}_{1}} {{U}_{2}}$ 与 $\vartriangle ABC$ 相似。注意到 ${{U}_{2}}$ 的一条直角边应是矩形 $DEFG$ 的一条边，另一条直角边是这条直角边在矩形中一条邻边的一部分。下面分两种情况讨论。情况1：${{U}_{2}}$ 的一条直角边为 $DG$（$EF$ 的情况完全相同）。则其另一条直角边的长度应为 $6\times\frac{3}{4}=\frac{9}{2}$ 或 $6\times \frac{4}{3}=8$ 。由于 $DE=FG=7 <8$，故另一条直角边的长度必为 $\frac{9}{2}$ 。因此 ${{V}_{2}}$ 的两底长度之比为 $\left( 7-\frac{9}{2}\right):7=5:14$，这也是 ${{U}_{1}}$ $\vartriangle ABC$ 的相似比。此时 ${{U}_{1}}$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times 3\times4\times {{\left( \frac{5}{14} \right)}^{2}}=\frac{75}{98}$ 。
情况2：${{U}_{2}}$ 的一条直角边为 $GF$（$DE$ 的情况完全相同）。则其另一条直角边的长度应为 $7\times\frac{3}{4}=\frac{21}{4}$ 或 $7\times \frac{3}{4}=\frac{28}{3}$ 。由于 $DG=EF=6 <\frac{28}{3}$，故另一条直角边的长度应为 $\frac{21}{4}$ 。因此 ${{V}_{2}}$ 的两底长度之比为 $\left( 6-\frac{21}{4}\right):6=1:8$，这也是 ${{U}_{1}}$ 与 $\vartriangle ABC$ 的相似比，此时 ${{U}_{1}}$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times 3\times4\times {{\left( \frac{1}{8} \right)}^{2}}=\frac{3}{32}$ 。
综上所述，${{U}_{1}}$ 面积的最小可能值为 $\frac{3}{32}$，故 $m+n=35$ 。
答案 解析 备注
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