设 $a b c$ 是三个正整数，满足 $a=b+60$，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}$，且 $\sqrt{c}$ 不是整数（即 $c$ 不是一个完全平方数）．令 $s=a+b$，求 $s$ 的最大可能值．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
156
【解析】
由条件知 $\sqrt{b}+\sqrt{b+60}=\sqrt{c}$，故 $c=2b+60+2\sqrt{b\left( b+60\right)}$．
又由于 $c$ 是整数，故可设 $b\left( b+60\right)={{z}^{2}}$，其中 $z$ 是一个整数．
故 ${{z}^{2}}=b\left( b+60\right)={{\left( b+30 \right)}^{2}}-{{30}^{2}}$，即 $\left( b+30-z \right)\left(b+30+z \right)=900$．这说明 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 都是 $900$ 的因子．注意到 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 的和与积都是偶数，故 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 都是偶数．因此 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 所有可能的值为 $\left( 450,2 \right)$，$\left( 150,6 \right)$，$\left( 90,10 \right)$，$\left( 50,18 \right)$，这样可以得到4个 $b$ 值，分别是 $196,48,20,4$．
当 $b=196$ 或 $b=4$ 时，$\sqrt{b}$ 与 $\sqrt{b+60}$ 为整数，与已知矛盾．
当 $b=48$ 时，有 $\sqrt{48}+\sqrt{108}=\sqrt{300}$．
当 $b=20$ 时，有 $\sqrt{20}+\sqrt{80}=\sqrt{180}$．
综上所述，$s$ 的最大可能值为 $48+108=156$．
又由于 $c$ 是整数，故可设 $b\left( b+60\right)={{z}^{2}}$，其中 $z$ 是一个整数．
故 ${{z}^{2}}=b\left( b+60\right)={{\left( b+30 \right)}^{2}}-{{30}^{2}}$，即 $\left( b+30-z \right)\left(b+30+z \right)=900$．这说明 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 都是 $900$ 的因子．注意到 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 的和与积都是偶数，故 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 都是偶数．因此 $b+30+z$ 与 $b+30-z$ 所有可能的值为 $\left( 450,2 \right)$，$\left( 150,6 \right)$，$\left( 90,10 \right)$，$\left( 50,18 \right)$，这样可以得到4个 $b$ 值，分别是 $196,48,20,4$．
当 $b=196$ 或 $b=4$ 时，$\sqrt{b}$ 与 $\sqrt{b+60}$ 为整数，与已知矛盾．
当 $b=48$ 时，有 $\sqrt{48}+\sqrt{108}=\sqrt{300}$．
当 $b=20$ 时，有 $\sqrt{20}+\sqrt{80}=\sqrt{180}$．
综上所述，$s$ 的最大可能值为 $48+108=156$．
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