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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27190 590c27bc857b4200085f8596 高中 解答题 高中习题 求证：任取四个不同的正整数，一定可以用 $24$ 点的规则（用四则运算符号和括号连接这四个数）算出一个 $24$ 的倍数． 2022-04-17 21:57:01
27169 590fc666857b4200092b0728 高中 解答题 自招竞赛 方程 $ax^2+(a+4)x+a+1=0$ 有且仅有一个素数根，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:45:01
26966 591267d4e020e700094b0a8f 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\dfrac{{{a^3} + 2a}}{{{a^4} + 3{a^2} + 1}}$ 为最简分式． 2022-04-17 20:52:59
26698 591407e3e020e7000a798d0f 高中 解答题 高中习题 若正整数 $n$ 满足 $\sigma(n)=2n$，则称 $n$ 为完全数．求证：偶数 $n$ 为完全数的充分必要条件是\[
n=2^{k-1}\left(2^k-1\right),
\]且 $2^k-1$ 是素数．		 2022-04-17 20:23:57
26600 5914264e1edfe2000ade98bf 高中 解答题 高中习题 对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$） 2022-04-17 20:32:56
26599 5961010e3cafba0009670bb2 高中 解答题 高中习题 对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$） 2022-04-17 20:31:56
26424 597ea66dd05b90000c80586e 高中 解答题 高中习题 将 $1 , 2 , \cdots , 4n$ 分成 $n$ 组，满足每组中有一个数是另三个数之算术平均数，求所有可能的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$． 2022-04-17 20:51:54
26421 5927d80e50ce8400087afa4a 高中 解答题 高考真题 在数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 和 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中，${a_n} = {a^n}$，${b_n} = \left(a + 1\right)n + b$，$n = 1 , 2 , 3 , \cdots $，其中 $a \geqslant 2$ 且 $a \in {{\mathbb{N}}^*}$，$b \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 20:48:54
26370 5927da2f50ce840009d7709c 高中 解答题 高考真题 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长为有理数． 2022-04-17 20:19:54
26355 592e1943eab1df00095843f1 高中 解答题 高考真题 若有穷数列 $\{a_n\}$ 满足：
① 首项 $a_1=1$，末项 $a_m=k$；
② $a_{n+1}=a_n+1$ 或 $a_{n+1}=2a_n$，其中 $n=1,2,\cdots,m-1$；
则称数列 $\{a_n\}$ 为 $k$ 的 $m$ 阶数列．		 2022-04-17 20:10:54
26326 592e32a2eab1df00082572aa 高中 解答题 高中习题 已知集合 $P$． 2022-04-17 20:55:53
26312 596c16c322d14000091d731d 高中 解答题 自招竞赛 试证明：集合 $A=\{2,2^2,\cdots,2^n,\cdots\}$ 满足 2022-04-17 20:48:53
26311 597fdf393ccefb0008916997 高中 解答题 自招竞赛 试证明：集合 $A=\{2,2^2,\cdots,2^n,\cdots\}$ 满足 2022-04-17 20:47:53
26297 596446d4e6a2e7000d504781 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $P=\{x\mid x=7^{3}+a\times 7^{2}+b\times 7+c,a,b,c\leqslant 6,a,b,c\in\mathbb Z\}$．$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}$ 为集合 $P$ 中构成等差数列的 $n$ 个元素．求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:39:53
26235 5964330fcbc472000a68b572 高中 解答题 自招竞赛 若整数 $a,b$ 既不互质，又不存在整除关系，则称 $a,b$ 是一个“联盟”数对．设 $A$ 是集合 $M=\{1,2,\cdots,2014\}$ 的 $n$ 元子集，且 $A$ 中任两数皆是“联盟”数对，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:07:53
26057 597ed8f8d05b90000c80594d 高中 解答题 高中习题 某校举行百年校庆的庆典活动，在某项仪式中，要求在操场事先画好的 $2\times n$ 的带型网格中插上小红旗，并且每个 $1\times 1$ 的方格最多插 $1$ 面旗，任何 $2\times 2$ 的“田”字格中不能插满旗．以 $a_n$ 来表示满足条件的不同的插红旗的方法数，例如，$a$ 表示在 $2\times 1$ 的网格中插红旗所有满足要求的方法数，易知 $a_1=4$． 2022-04-17 20:34:51
26008 597ea343d05b90000addb392 高中 解答题 高中习题 设等差数列首项和公差均为非负整数，且各项之和为 $97^2$，这样的等差数列共有多少个？ 2022-04-17 20:09:51
25968 590c23b8857b4200085f8561 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y,z$ 是三个两两不等且都大于1的正整数，若 $xyz\mid \left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right)$，求 $x,y,z$ 的所有可能值． 2022-04-17 20:48:50
25870 597071e4dbbeff000706d371 高中 解答题 高中习题 平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在 $3$ 个整点． 2022-04-17 20:53:49
25869 5970714adbbeff000aeab88f 高中 解答题 高中习题 证明：$\tan 1^\circ$ 为无理数． 2022-04-17 20:53:49
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