题目 某校举行百年校庆的庆典活动，在某项仪式中，要求在操场事先画好的 $2\times n$ 的带型网格中插上小红旗，并且每个 $1\times 1$ 的方格最多插 $1$ 面旗，任何 $2\times 2$ 的“田”字格中不能插满旗．以 $a_n$ 来表示满足条件的不同的插红旗的方法数，例如，$a$ 表示在 $2\times 1$ 的网格中插红旗所有满足要求的方法数，易知 $a_1=4$． 问题1 求 $a_2$，$a_3$； 答案1 $a_1=4$，$a_2=15$，$a_3=57$ 解析1 略 备注1 问题2 求证：$a_n$（$n \geqslant 2\land n\in \mathbb N$）是 $3$ 的倍数； 答案2 略 解析2 将 $a_n$ 种满足条件的不同的插红旗的方法分为两类：<br/><case>第一类</case>以两面红旗结尾的，记为 $b_n$ 种；<br/><case>第二类</case>不以两面红旗结尾的，记为 $c_n$ 种．<br/>例如当 $n=1$ 时，$a_1=4$，$b_1=1$，$c_1=3$．<br/>这样，容易得到数列 $\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 的递推关系：$$\begin{cases} b_{n+1}=c_n,\\c_{n+1}=3(b_n+c_n),\end{cases} $$这样，我们就得到了当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in \mathbb N^*$ 时，有递推关系$$a_{n+1}=b_{n+1}+c_{n+1}=3b_n+4c_n=3a_n+c_n=3a_n+3a_{n-1}, $$因此 $a_n$（$n \geqslant 2\land n\in \mathbb N$）是 $3$ 的倍数． 备注2 问题3 当 $n=2015$ 时，若 $a_{2015}=3^k\cdot m$（$k,m\in\mathbb N^*$），求 $k$ 的最大值． 答案3 $1007$ 解析3 考虑使用三进制解决问题：<br/>记题中 $a_n$ 对应的 $k=[a_n]$，给出引理：<br/><sol>引理</sol>对于 $[\quad]$ 运算，若 $[m]>[n]$，其中 $m,n\in\mathbb N^*$，那么$$[m+n]=[n].$$<sol>归纳证明</sol>当 $n=2k-1$ 时，$[a_n]=k-1$；当 $n=2k$ 时，$[a_n]\geqslant k$，其中 $k\in\mathbb N^*$．<br/>当 $k=1$ 时，$[a_1]=[4]=0$，$[a_2]=[15]=1$，命题成立；<br/>假设命题对 $k$ 成立，则$$[a_{2k-1}]=k-1,[a_{2k}]\geqslant k,$$欲证明$$[a_{2k+1}]=k,[a_{2k+2}]\geqslant k+1.$$事实上，由递推关系，有$$[a_{2k+1}]=[3a_{2k}+3a_{2k-1}]=[a_{2k}+a_{2k-1}]+1=[a_{2k-1}]+1=k,$$其中用到了引理．<br/>同时$$[a_{2k+2}]=[3a_{2k+1}+3a_{2k}]=[a_{2k+1}+a_{2k}]+1\geqslant k+1.$$因此命题对任意正整数 $k$ 均成立，于是 $[a_{2015}]=1007$． 备注3