设 $x,y,z$ 是三个两两不等且都大于1的正整数，若 $xyz\mid \left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right)$，求 $x,y,z$ 的所有可能值．
【难度】
【出处】
2013年清华大学等多校联考自主选拔考试
【标注】
【答案】
$\left( {x, y, z} \right)$ 为 $\left( {2, 3, 5} \right)$ 或其排列
【解析】
由 $xyz\mid \left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right)$，即$$xyz\mid\left( {{x^2}{y^2}{z^2} - x{y^2}z - {x^2}yz - xy{z^2} + xy + yz + zx - 1} \right),$$整理得$$xyz\mid\left( {xy + yz + zx - 1} \right),$$设 $xy + yz + zx - 1 = m \cdot xyz,m \in \mathbb N^ *$，则$$m = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{{xyz}} < \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z},$$不妨设 $1 < x < y < z$，则$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \leqslant \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{13}}{{12}},$$因此 $m = 1$，而 $\dfrac 13+\dfrac 14+\dfrac 15<1$，进而 $x = 2$，此时$$2y + 2z + yz - 1 = 2yz,$$即$$y = 2 + \dfrac{3}{{z - 2}},$$从而 $z = 5$，$y = 3$，因此 $\left( {x, y, z} \right)$ 为 $\left( {2, 3, 5} \right)$ 或其排列．
答案
解析
备注
