题目 若有穷数列 $\{a_n\}$ 满足：<br/>① 首项 $a_1=1$，末项 $a_m=k$；<br/>② $a_{n+1}=a_n+1$ 或 $a_{n+1}=2a_n$，其中 $n=1,2,\cdots,m-1$；<br/>则称数列 $\{a_n\}$ 为 $k$ 的 $m$ 阶数列． 问题1 请写出一个 $10$ 的 $6$ 阶数列； 答案1 $1,2,4,8,9,10$ 或 $1,2,3,4,5,10$ 解析1 ② 的本质就是在二进制下加 $1$ 或末尾添 $0$．<br/>因为$$10_{(10)}=1010_{(2)},$$所以 $10$ 的 $6$ 阶数列为 $1,2,4,8,9,10$ 或 $1,2,3,4,5,10$； 备注1 问题2 设数列 $\{b_n\}$ 是各项为自然数的递增数列，若 $k=2^{b_1}+2^{b_2}+\cdots+2^{b_l}(l\in\mathbb N^*,l\geqslant2)$，求 $\{a_n\}$ 的项数 $m$ 的最小值． 答案2 $b_l+l$ 解析2 若 $a_{n+1}=a_n+1$，则 $\Delta a_n=1$；若 $a_{n+1}=2a_n$，则 $\Delta a_n=a_n\geqslant1$．<br/>因此应当尽量利用第二种方式．<br/>要得到 $2^{b_1}+2^{b_2}+2^{b_3}+\cdots+2^{b_l}$ 只需将$$1+2^{b_2-b_1}+2^{b_3-b_1}+\cdots+2^{b_l-b_1},$$进行 $b_1$ 次“$\times2$”，只需将$$2^{b_2-b_1}+2^{b_3-b_1}+\cdots+2^{b_l-b_1},$$进行 $1$ 次“$+1$”，只需将$$1+2^{b_3-b_2}+2^{b_4-b_3}+\cdots+2^{b_l-b_2},$$进行 $b_2-b_1$ 次“$\times2$”，只需将$$2^{b_3-b_2}+2^{b_4-b_3}+\cdots+2^{b_l-b_2},$$进行 $1$ 次“$+1$”，只需将$$\cdots$$只需将$$1+2^{b_{k+1}-b_k}+\cdots+2^{b_l-b_k},$$进行 $b_k-b_{k-1}$ 次“$\times2$”，只需将$$2^{b_{k+1}-b_k}+\cdots+2^{b_l-b_k},$$进行 $1$ 次“$+1$”，只需将$$\cdots$$只需将 $1$ 进行 $b_l-b_{l-1}$ 次“$\times2$”．<br/>因此 $\{a_n\}$ 的项数即以上操作的次数$$m=[(b_l-b_{l-1})+\cdots+(b_2-b_1)+b_1]+l=b_l+l.$$ 备注2