对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $p$ 为大于 $7$ 的素数，则 $p$ 与 $10$ 互素．根据费马小定理，有$$10^{p-1}\equiv 1 \pmod p,$$即$$p \mid \left(10^{p-1}-1 \right ). $$又因为 $9 \mid \left(10^{p-1}-1 \right )$，且 $p$ 与 $9$ 互素，故$$p \mid \dfrac{10^{p-1}-1}9 . $$所以 $\dfrac{10^{p-1}-1}9$ 即为满足要求的数．
答案
解析
备注
