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若正整数 $n$ 满足 $\sigma(n)=2n$，则称 $n$ 为完全数．求证：偶数 $n$ 为完全数的充分必要条件是\[
n=2^{k-1}\left(2^k-1\right),
\]且 $2^k-1$ 是素数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    整除与同余
【答案】
略
【解析】
充分性若偶数 $n$ 满足 $n=2^{k-1}\left(2^k-1\right)$，且 $2^k-1$ 是素数，则\[\sigma(n)=\dfrac{2^k-1}{2-1}\cdot\left(1+\left(2^k-1\right)\right)=2n,\]故 $n$ 为完全数．
必要性若偶数 $n$ 为完全数，设 $n=2^{k-1}m$，其中 $k \geqslant 2$，$2\nmid m$，则\[2^km=2n=\sigma(n)=\dfrac{2^k-1}{2-1}\sigma(m),\]所以$$\sigma(m)=m+\dfrac{m}{2^k-1},$$但 $m$ 及 $\dfrac{m}{2^k-1}$ 都是 $m$ 的约数，而 $\sigma(m)$ 为 $m$ 的所有正约数之和，故 $m$ 只有这两个约数，即 $m$ 为素数，且 $\dfrac{m}{2^k-1}=1$．
因此$$n=2^{k-1}\left(2^k-1\right),$$且 $2^k-1$ 是素数．
答案 解析 备注
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