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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15227 5c74abd3210b284290fc22d0 高中 解答题 自招竞赛 令 $\displaystyle P\left( x \right)=24{{x}^{24}}+\sum\limits_{j=1}^{23}{\left( 24-j \right)\left( {{x}^{24-j}}+{{x}^{24+i}} \right)}$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} \cdots {{z}_{r}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有不同的根．令 ${{z}_{k}}^{2}={{a}_{k}}+i{{b}_{k}}$，其中 $k=1 2 \cdots r$，$i=\sqrt{-1} {{a}_{k}} {{b}_{k}}$ 为实数．若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{r}{\left| {{b}_{k}} \right|}=m+n\sqrt{p}$，其中 $m n p$ 为整数，$p$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n+p$． 2022-04-17 19:47:11
15216 5c75f9f8210b28428f14cd26 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的正整数 $p$，令 $b\left( p \right)$ 为唯一满足 $\left| k-\sqrt{p}\frac{1}{2} \right|$ 的正整数 $k$ 。例如，$b\left( 6 \right)=2$，$b\left( 23 \right)=5$ 。若 $\displaystyle S=\sum\limits_{p=1}^{2007}{b\left( p \right)}$，求出 $S$ 被 $1000$ 除所得的余数。 2022-04-17 19:43:11
15211 5c763c3a210b28428f14ce1c 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\left\{ {{2}^{0}} ,{{2}^{1}}, {{2}^{1}} ,\ldots ,{{2}^{10}} \right\}$．考虑集合 $S$ 中两个元素所有可能的差的绝对值，记 $N$ 为这些绝对值的和，求 $N$ 除以1000的余数． 2022-04-17 19:39:11
15208 5c77428a210b28428f14ce50 高中 解答题 自招竞赛 定义 $n!!$ 为 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1$（$n$ 为奇数时）或 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$（$n$ 为偶数时）当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2009}{\frac{\left( 2i-1 \right)!!}{\left( 2i \right)!!}}$ 表示成最简分数时，它的分母是 ${{2}^{a}}\cdot b$，其中 $b$ 是奇数，求 $\frac{ab}{10}$． 2022-04-17 19:37:11
15207 5c774297210b284290fc2599 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是 $4x+3y+2z=2009$ 的正整数解的个数，而 $n$ 是 $4x+3y+2z=2000$ 的正整数解的个数，求 $m-n$ 除以1000的余数． 2022-04-17 19:36:11
15205 5c774c79210b28428f14ce94 高中 解答题 自招竞赛 假设 $y=\frac{3}{4}x$，${{x}^{y}}={{y}^{x}}$，且 $x+y$ 可以表示成 $\frac{r}{s}$，其中 $r$ 和 $s$ 是互素的正整数。求 $r+s$ 的值。 2022-04-17 19:35:11
15202 5c8efeac210b286d125ef332 高中 解答题 自招竞赛 正实数 $x,y,z$ 满足 $\text{2}{{\log }_{x}}\left( 2y \right)=2{{\log }_{2x}}\left( 4z \right)=2{{\log }_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\ne 0$ 。 $x{{y}^{5}}z$ 可表示为 $\frac{\text{1}}{{{\text{2}}^{p/q}}}$，其中 $p,q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 19:33:11
15201 5c8efebc210b286d125ef33c 高中 解答题 自招竞赛 一只青蛙从 ${{P}_{\text{0}}}\text{=}\left( \text{0,0} \right)$ 出发并且依据如下规则跳跃前进：从 ${{P}_{n}}=\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)$ 跳向 ${{P}_{n+1}}$ 时，可选择的落点为 $\left( {{x}_{n}}+7,{{y}_{n}}+2 \right),\left( {{x}_{n}}+2,{{y}_{n}}+7 \right),\left( {{x}_{n}}-5,{{y}_{n}}-10 \right)\left( {{x}_{n}}-10,{{y}_{n}}-5 \right)$ 。青蛙可到达的点中，满足 $\left| x \right|+\left| y \right|\leqslant 100$ 的有 $M$ 个。求 $M$ 模 $\text{1000}$ 的值。 2022-04-17 19:33:11
15199 5c90887d210b286d125ef406 高中 解答题 自招竞赛 对 $\pi \leqslant \theta \text{}2\pi $，$P\text{=}\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{1}{4}\sin 2\theta -\frac{1}{8}\cos 3\theta +\frac{1}{16}\sin 4\theta +\frac{1}{32}\cos 5\theta -\frac{1}{64}\sin 6\theta -\frac{1}{128}\cos 7\theta +\cdots $，
$Q=1-\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{1}{4}\cos 2\theta +\frac{1}{8}\sin 3\theta +\frac{1}{16}\cos 4\theta -\frac{1}{32}\sin 5\theta -\frac{1}{64}\cos 6\theta +\frac{1}{128}\sin 7\theta +\cdots $ 且有 $\frac{P}{Q}=\frac{2\sqrt{2}}{7}$ 。记 $\sin \theta \text{=}-\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$		 2022-04-17 19:32:11
15198 5c91ccd5210b286d125ef449 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\Delta ABC$ 中，$D\text{,}E$ 三分 $BC$ 。 $\sin \left( \angle DAE \right)$ 可被表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a\text{,}c$ 为互质正整数，$b$ 为没有平方因子的正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 19:31:11
15195 5c944ba0210b286d07454331 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $k$，设 $p\left( k \right)$ 表示不能整除 $k$ 的最小质数。当 $p\left( k \right)\text{}2$ 时，整值函数 $X\left( k \right)$ 是所有小于 $p\left( k \right)$ 的质数的乘积；当 $p\left( k \right)\text{=}2$ 时，$X\left( k \right)\text{=}1$ 。设数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}\text{=}1$，且 ${{x}_{n+1}}X\left( {{x}_{n}} \right)\text{=}{{x}_{n}}p\left( {{x}_{n}} \right)\left( n\geqslant 0 \right)$ 。若 ${{x}_{t}}\text{=}2090$，求正整数 $t$ 的最小值。 2022-04-17 19:29:11
15194 5c9996d9210b280b2256bfbb 高中 解答题 自招竞赛 $a\text{}1\text{,}x\text{}1$，满足 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}2 \right)+{{\log }_{a}}24-128 \right)\text{=128}$ 且 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}x \right)\text{=}256$ 。求 $x$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:29:11
15192 5c9c34ad210b280b2256c0e0 高中 解答题 自招竞赛 求所有满足条件的正整数 $b<1000$，使得 $b$ 进制下的数 ${{36}_{b}}$ 是一个完全平方数 ${{27}_{b}}$ 是一个完全立方数 2022-04-17 19:28:11
15186 5c9d810d210b280b2397eb6e 高中 解答题 自招竞赛 一块圆柱形的木块底面半径为6高为8，其整个表面都被涂上蓝色。点 $A$ 和 $B$ 在同一面的圆周上式的弧 $AB$ 对应圆心角为 $120^\circ $ 。木块被过点 $A$ 和 $B$ 和圆柱中心的平面切成两半，露出两个未被染色的切面。这两个切面的面积均为 $a \cdot \pi + b\sqrt c $，其中 $a,b,c$ 为整数，且 $c$ 不含平方因子。求 $a + b + c$ 2022-04-17 19:25:11
15141 5cb819db210b28021fc7583a 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $n$ 的各位数字中，共含有 $a_{1}$ 个 $1$，$a_{2}$ 个 $2$，$\cdots$，$a_{9}$ 个 $9$．证明：$2^{a_{1}}\cdot3^{a_{2}}\centerdot \cdots\centerdot 10^{a_{9}}\leqslant n+1$，并确定使等号成立的条件． 2022-04-17 19:58:10
15132 5cc12146210b280220ed2558 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $n$，使得当正整数 $k\geqslant n$ 时，在前 $k$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 中，对任意 $x\in M$，总存在另一个数 $y\in M$ 且 $y\ne x$，满足 $x+y$ 为平方数． 2022-04-17 19:52:10
15034 5f265b7e210b2865a678862c 高中 解答题 自招竞赛 若 $f\left(x\right)=x^5+px+q$ 有有理根，且正整数 $p,q$ 不大于 $100$，则满足条件的 $\left(p,q\right)$ 共有几组？ 2022-04-17 19:58:09
14490 5a249cdff25ac10009ad6e05 高中 填空题 自招竞赛 $(2^1+1)(2^2+1)(2^3+1)\cdots(2^{2017}+1)$ 的个位数字是 ． 2022-04-16 22:00:59
14018 5a55866e4e28b000091769e7 高中 填空题 自招竞赛 已知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列，$\{b_n\}$ 是首项为 $2$，公差为 $5$ 的等差数列．同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列 $\{x_n\}$，则 $x_{100}=$  ． 2022-04-16 22:46:54
13885 590beec4d42ca700093fc535 高中 填空题 高中习题 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $1000n$ 恰好有 $1000$ 个约数，则 $n$ 的约数个数的最小值为 ． 2022-04-16 22:37:53
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