已知正整数 $n$ 的各位数字中，共含有 $a_{1}$ 个 $1$，$a_{2}$ 个 $2$，$\cdots$，$a_{9}$ 个 $9$．证明：$2^{a_{1}}\cdot3^{a_{2}}\centerdot \cdots\centerdot 10^{a_{9}}\leqslant n+1$，并确定使等号成立的条件．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
对正整数 $n$ 的位数使用数学归纳法，当 $1\leqslant n<10$ 时，显然所证不等式等号成立．这是由于此时数 $n$ 的十进制表达式中只有一位数字，也就是 $a_{n}=1$，其余 $a_{i}=0(i\ne n)$．于是，左 $=(n+1)^1=$ 右
设在 $n<10^{k}(k\geqslant 1)$ 时结论已成立，则当 $10^{k}\leqslant n<10^{k+1}$ 时，根据带余除法，存在 $r(1\leqslant r\leqslant 9)$，使 $n=r\cdot10^{k}+n_{1},0\leqslant n_{1}\leqslant 10^{k}-1$．① 如果 $n_{1}=0$，则数 $n$ 的十进制表达式中，$a_{r}=1$，其余 $a_{i}=0(i\ne r)$，显然有 $(r+1)^{a_{r}}-r+1\leqslant 10<n+1$．若 $1\leqslant n_{1}\leqslant 10^{k}-1$，设 $n_{1}$ 的各位数字中，含 $a_{1}$ 个 $1$，$a_{2}$ 个 $2$，$\cdots$，$a_{r}$ 个 $r$，$\cdots$，$a_{9}$ 个 $9$，则 $n$ 的各位数字中，含 $a_{r}+1$ 个 $r$，$a_{i}$ 个 $i(1\leqslant i\leqslant 9,i\ne r)$，根据归纳假设，对 $n_{1}$ 有 $2^{a_{1}}\centerdot 3^{a_{2}}\centerdot \cdots\centerdot (r+1)^{a_{r}}\centerdot \cdots\centerdot 10^{a_{9}}\leqslant n_{1}+1$，所以 $
{{2}^{{{a}_{1}}}}\centerdot {{3}^{{{a}_{2}}}}\centerdot \cdots\centerdot {{\left( r+1 \right)}^{{{a}_{r}}+1}}\centerdot \cdots \centerdot{{10}^{{{a}_{9}}}} \leqslant \left( r+1 \right)\left( {{n}_{1}}+1\right) \text{=}r\left( {{n}_{1}}+1\right)+\left( {{n}_{1}}+1 \right) \leqslant r\centerdot {{10}^{k}}+\left({{n}_{1}}+1 \right) \text{=}n+1 $ ② 既当 $10^{k}\leqslant n<10^{k+1}$ 时结论成立．由数学归纳法，对一切正整数 $n$，结论皆成立．
欲使等号成立，由证明过程可知（1）$n$ 是一位数；（2）在数 $n$ 的位数多于一位时，由 ② 式，必须有 $n_{1}+1=10^k$，故由 ① 式得 $n=r\cdot10^k+10^k-1(1\leqslant r\leqslant 9)$．总之，$n$ 可表示为 $n\text{=}\overline{r\underbrace{99\cdots9}_{k个9}}\left( k\geqslant 0\text{,}1\leqslant r\leqslant 9 \right)$ 的形式．
此结论也是充分的，当 $n$ 可表示为以上形式时，$a_{r}=1,a_{9}=k$，此时 ${{2}^{{{a}_{1}}}}\centerdot {{3}^{{{a}_{2}}}}\centerdot \cdots\centerdot {{10}^{{{a}_{9}}}}=(r+1)^1\centerdot 10^k=n+1$．
设在 $n<10^{k}(k\geqslant 1)$ 时结论已成立，则当 $10^{k}\leqslant n<10^{k+1}$ 时，根据带余除法，存在 $r(1\leqslant r\leqslant 9)$，使 $n=r\cdot10^{k}+n_{1},0\leqslant n_{1}\leqslant 10^{k}-1$．① 如果 $n_{1}=0$，则数 $n$ 的十进制表达式中，$a_{r}=1$，其余 $a_{i}=0(i\ne r)$，显然有 $(r+1)^{a_{r}}-r+1\leqslant 10<n+1$．若 $1\leqslant n_{1}\leqslant 10^{k}-1$，设 $n_{1}$ 的各位数字中，含 $a_{1}$ 个 $1$，$a_{2}$ 个 $2$，$\cdots$，$a_{r}$ 个 $r$，$\cdots$，$a_{9}$ 个 $9$，则 $n$ 的各位数字中，含 $a_{r}+1$ 个 $r$，$a_{i}$ 个 $i(1\leqslant i\leqslant 9,i\ne r)$，根据归纳假设，对 $n_{1}$ 有 $2^{a_{1}}\centerdot 3^{a_{2}}\centerdot \cdots\centerdot (r+1)^{a_{r}}\centerdot \cdots\centerdot 10^{a_{9}}\leqslant n_{1}+1$，所以 $
{{2}^{{{a}_{1}}}}\centerdot {{3}^{{{a}_{2}}}}\centerdot \cdots\centerdot {{\left( r+1 \right)}^{{{a}_{r}}+1}}\centerdot \cdots \centerdot{{10}^{{{a}_{9}}}} \leqslant \left( r+1 \right)\left( {{n}_{1}}+1\right) \text{=}r\left( {{n}_{1}}+1\right)+\left( {{n}_{1}}+1 \right) \leqslant r\centerdot {{10}^{k}}+\left({{n}_{1}}+1 \right) \text{=}n+1 $ ② 既当 $10^{k}\leqslant n<10^{k+1}$ 时结论成立．由数学归纳法，对一切正整数 $n$，结论皆成立．
欲使等号成立，由证明过程可知（1）$n$ 是一位数；（2）在数 $n$ 的位数多于一位时，由 ② 式，必须有 $n_{1}+1=10^k$，故由 ① 式得 $n=r\cdot10^k+10^k-1(1\leqslant r\leqslant 9)$．总之，$n$ 可表示为 $n\text{=}\overline{r\underbrace{99\cdots9}_{k个9}}\left( k\geqslant 0\text{,}1\leqslant r\leqslant 9 \right)$ 的形式．
此结论也是充分的，当 $n$ 可表示为以上形式时，$a_{r}=1,a_{9}=k$，此时 ${{2}^{{{a}_{1}}}}\centerdot {{3}^{{{a}_{2}}}}\centerdot \cdots\centerdot {{10}^{{{a}_{9}}}}=(r+1)^1\centerdot 10^k=n+1$．
答案
解析
备注
