题目 $(2^1+1)(2^2+1)(2^3+1)\cdots(2^{2017}+1)$ 的个位数字是<nn> </nn>． 答案 $5$ 解析 因为 $2^2+1=5$，且对于任意正整数 $k$，都有 $2^k+1$ 为奇数，所以\[<br/>\left(2+1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{3}+1\right)\cdots\left(2^{2017}+1\right)\equiv 5 \pmod{10}.<br/>\] 备注 事实上，有\[\left(2+1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{3}+1\right)\cdots\left(2^{2017}+1\right)\equiv 0\pmod{5^4},\]又\[(2^1+1)(2^2+1)(2^3+1)\cdots(2^{2017}+1)\equiv 3\cdot 5\cdot 9 \pmod {2^4},\]于是\[(2^1+1)(2^2+1)(2^3+1)\cdots(2^{2017}+1)\equiv 7 \pmod {2^4},\]从而\[(2^1+1)(2^2+1)(2^3+1)\cdots(2^{2017}+1)\equiv 4375\pmod {10000}.\]