对 $\pi \leqslant \theta \text{}2\pi $，$P\text{=}\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{1}{4}\sin 2\theta -\frac{1}{8}\cos 3\theta +\frac{1}{16}\sin 4\theta +\frac{1}{32}\cos 5\theta -\frac{1}{64}\sin 6\theta -\frac{1}{128}\cos 7\theta +\cdots $，
$Q=1-\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{1}{4}\cos 2\theta +\frac{1}{8}\sin 3\theta +\frac{1}{16}\cos 4\theta -\frac{1}{32}\sin 5\theta -\frac{1}{64}\cos 6\theta +\frac{1}{128}\sin 7\theta +\cdots $ 且有 $\frac{P}{Q}=\frac{2\sqrt{2}}{7}$ 。记 $\sin \theta \text{=}-\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
$Q=1-\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{1}{4}\cos 2\theta +\frac{1}{8}\sin 3\theta +\frac{1}{16}\cos 4\theta -\frac{1}{32}\sin 5\theta -\frac{1}{64}\cos 6\theta +\frac{1}{128}\sin 7\theta +\cdots $ 且有 $\frac{P}{Q}=\frac{2\sqrt{2}}{7}$ 。记 $\sin \theta \text{=}-\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
036
【解析】
$P\sin \theta +Q\cos \theta\text{=}\cos \theta -\frac{1}{2}P$，$P\cos \theta+Q\sin \theta \text{=}-2\left( Q-1 \right)$，则 $\frac{P}{Q}=\frac{\cos\theta }{2+\sin \theta }\text{=}\frac{2\sqrt{2}}{7}$ 。将等式两边同时平方，再根据 ${{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta \text{=}1$，得到 $\left(19\sin \theta +17 \right)\left( 3\sin \theta -1 \right)\text{=}0\text{,}\sin\theta \text{=}-\frac{17}{19}$，故所求值为 $17+19\text{=}036$
答案
解析
备注
