对于任意的正整数 $p$，令 $b\left( p \right)$ 为唯一满足 $\left| k-\sqrt{p}\frac{1}{2} \right|$ 的正整数 $k$ 。例如，$b\left( 6 \right)=2$，$b\left( 23 \right)=5$ 。若 $\displaystyle S=\sum\limits_{p=1}^{2007}{b\left( p \right)}$，求出 $S$ 被 $1000$ 除所得的余数。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
955
【解析】
首先，若 $b\left( p \right)=k$，则 $-\frac{1}{2}\sqrt{k}-\sqrt{p}\frac{1}{2}$，即 $k-\frac{1}{2}\sqrt{p}k+\frac{1}{2}$，故 ${{k}^{2}}-k+\frac{1}{4}p{{k}^{2}}+k+\frac{1}{4}$
，由于 $k$，$p$ 是整数，这等价于 ${{k}^{2}}-k+1\leqslant p\leqslant{{k}^{2}}+k$，因此，对于每个正整数 $k$，使得 $b\left( p \right)=k$ 的正整数 $p$ 有 $2k$ 个，而由 ${{45}^{2}}-45+1\leqslant 2007\leqslant{{45}^{2}}+45$ 知 $b\left(2007 \right)=45$，故
$\displaystyle s=\sum\limits_{p=1}^{2007}{b\left(p \right)=}\sum\limits_{k=1}^{44}{2k}\cdot k+45\times \left( 2007-\left({{45}^{2}}-45+1 \right)+1 \right)$
$=\frac{44\times45\times 89}{3}+45\times 27=59955$ 。
因此所求的余数为 $955$ 。
，由于 $k$，$p$ 是整数，这等价于 ${{k}^{2}}-k+1\leqslant p\leqslant{{k}^{2}}+k$，因此，对于每个正整数 $k$，使得 $b\left( p \right)=k$ 的正整数 $p$ 有 $2k$ 个，而由 ${{45}^{2}}-45+1\leqslant 2007\leqslant{{45}^{2}}+45$ 知 $b\left(2007 \right)=45$，故
$\displaystyle s=\sum\limits_{p=1}^{2007}{b\left(p \right)=}\sum\limits_{k=1}^{44}{2k}\cdot k+45\times \left( 2007-\left({{45}^{2}}-45+1 \right)+1 \right)$
$=\frac{44\times45\times 89}{3}+45\times 27=59955$ 。
因此所求的余数为 $955$ 。
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备注
