已知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列，$\{b_n\}$ 是首项为 $2$，公差为 $5$ 的等差数列．同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列 $\{x_n\}$，则 $x_{100}=$ ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$2^{397}$
【解析】
根据题意，有\[a_n\equiv \begin{cases} 1\pmod 5,&n\equiv 1\pmod 4,\\
2\pmod 5,&n\equiv 2\pmod 4,\\
4\pmod 5,&n\equiv 3\pmod 4,\\
3\pmod 5,&n\equiv 0\pmod 4,
\end{cases}\]因此\[x_n:a_2,a_6,a_{10},\cdots,\]其中\[x_{100}=2^{397}.\]
2\pmod 5,&n\equiv 2\pmod 4,\\
4\pmod 5,&n\equiv 3\pmod 4,\\
3\pmod 5,&n\equiv 0\pmod 4,
\end{cases}\]因此\[x_n:a_2,a_6,a_{10},\cdots,\]其中\[x_{100}=2^{397}.\]
题目
答案
解析
备注
