对于正整数 $k$，设 $p\left( k \right)$ 表示不能整除 $k$ 的最小质数。当 $p\left( k \right)\text{}2$ 时，整值函数 $X\left( k \right)$ 是所有小于 $p\left( k \right)$ 的质数的乘积；当 $p\left( k \right)\text{=}2$ 时，$X\left( k \right)\text{=}1$ 。设数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}\text{=}1$，且 ${{x}_{n+1}}X\left( {{x}_{n}} \right)\text{=}{{x}_{n}}p\left( {{x}_{n}} \right)\left( n\geqslant 0 \right)$ 。若 ${{x}_{t}}\text{=}2090$，求正整数 $t$ 的最小值。
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
149
【解析】
注意到对任意 ${{x}_{i}}$ 和任意质数 $p$，${{x}_{i}}$ 不能被 ${{p}^{2}}$ 整除。于是我们考虑将 ${{x}_{i}}$ 表示为 $0\text{,}1$ 构成的序列 ${{y}_{i}}$ 。设 ${{x}_{i}}$ 质因数分解为 ${{P}_{a1}}\cdot{{P}_{a2}}\cdot {{P}_{a3}}\cdot \cdots $，其中 ${{P}_{i}}$ 是第 $i$ 个质数。于是对每一个 ${{P}_{ak}}$，${{y}_{i}}$ 的第 $ak$ 位数赋值 $1$ 。于是 ${{x}_{1}}\text{=}2\text{,}{{x}_{2}}\text{=}3\text{,}{{x}_{3}}\text{=}2*3\text{=}6\text{,}\cdots$，${{x}_{i}}$ 序列的元素相乘对应 ${{y}_{i}}$ 元素对应位相加。因此 ${{x}_{n+1}}X\left( {{x}_{n}}\right)\text{=}{{x}_{n}}p\left( {{x}_{n}} \right)\to {{y}_{n+1}}\text{=}{{y}_{n}}+1$ 。因为 ${{x}_{0}}\text{=}1\text{,}{{y}_{0}}\text{=}0$，${{x}_{i}}$ 对应的 ${{y}_{i}}$ 即为 $i$ 的二进制表示。 ${{x}_{{{\left( 10010101\right)}_{2}}}}\text{=}2\cdot 5\cdot 11\cdot19\text{=}2090\text{,}t\text{=}{{10010101}_{2}}\text{=}149$
答案
解析
备注
