一只青蛙从 ${{P}_{\text{0}}}\text{=}\left( \text{0,0} \right)$ 出发并且依据如下规则跳跃前进：从 ${{P}_{n}}=\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)$ 跳向 ${{P}_{n+1}}$ 时，可选择的落点为 $\left( {{x}_{n}}+7,{{y}_{n}}+2 \right),\left( {{x}_{n}}+2,{{y}_{n}}+7 \right),\left( {{x}_{n}}-5,{{y}_{n}}-10 \right)\left( {{x}_{n}}-10,{{y}_{n}}-5 \right)$ 。青蛙可到达的点中，满足 $\left| x \right|+\left| y \right|\leqslant 100$ 的有 $M$ 个。求 $M$ 模 $\text{1000}$ 的值。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
373
【解析】
首先，由条件可得出青蛙经过的任一点 $P\left(x\text{,}y \right)$，有 $x+y$ 是 $3$ 的倍数，$x-y$ 是 $5$ 的倍数。下面我们说明任意点 $\left( x\text{,}y\right)\text{,}x+y\text{=}3n\text{,}x-y\text{=}5m\text{,}\left( m\text{,}n\in Z\right)$，都是青蛙可到达的点。设四种跳法分别跳了 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 步。则 $\begin{align}
& x\text{=}7a+2b-5c-10d \\
& y\text{=}2a+7b-10c-5d \\
\end{align}$，于是\[\begin{align}&x+y\text{=}9\left( a+b \right)-15\left( c+d \right)\text{=}3n \\
&x-y\text{=}5\left( a-b \right)+5\left( c-d \right)\text{=}5m \\
\end{align}\]，且对任意 $m\text{,}n$，存在对应的非负整数 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 。最后我们只需计算 $\left| x \right|+\left| y \right|\leqslant 100$ 的点中，满足 $x+y\text{=}3n\text{.}x-y\text{=}5m\text{,}\left(m\text{,}n\in Z \right)$ 的数对个数。因为 $\left(x\text{,}y \right)\text{=}\left( \frac{3n+5m}{2}\text{,}\frac{3n-5m}{2}\right)\text{,}\left| x \right|+\left| y \right|\text{=}\left| x\pm y \right|$，所以 $\begin{align}&\left| x+y \right|\text{=}\left| 3n \right|\leqslant 100\to -33\leqslant n\leqslant 33 \\
& \left|x-y \right|\text{=}\left| 5m \right|\leqslant 100\to -20\leqslant m\leqslant 20 \\
\end{align}$，由于 $n\text{,}m$ 应满足奇偶性相同，故满足条件的点有 $34\cdot 20+33\cdot 21\text{=}1373$ 个，所求值为 $373$
& x\text{=}7a+2b-5c-10d \\
& y\text{=}2a+7b-10c-5d \\
\end{align}$，于是\[\begin{align}&x+y\text{=}9\left( a+b \right)-15\left( c+d \right)\text{=}3n \\
&x-y\text{=}5\left( a-b \right)+5\left( c-d \right)\text{=}5m \\
\end{align}\]，且对任意 $m\text{,}n$，存在对应的非负整数 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 。最后我们只需计算 $\left| x \right|+\left| y \right|\leqslant 100$ 的点中，满足 $x+y\text{=}3n\text{.}x-y\text{=}5m\text{,}\left(m\text{,}n\in Z \right)$ 的数对个数。因为 $\left(x\text{,}y \right)\text{=}\left( \frac{3n+5m}{2}\text{,}\frac{3n-5m}{2}\right)\text{,}\left| x \right|+\left| y \right|\text{=}\left| x\pm y \right|$，所以 $\begin{align}&\left| x+y \right|\text{=}\left| 3n \right|\leqslant 100\to -33\leqslant n\leqslant 33 \\
& \left|x-y \right|\text{=}\left| 5m \right|\leqslant 100\to -20\leqslant m\leqslant 20 \\
\end{align}$，由于 $n\text{,}m$ 应满足奇偶性相同，故满足条件的点有 $34\cdot 20+33\cdot 21\text{=}1373$ 个，所求值为 $373$
答案
解析
备注
