定义 $n!!$ 为 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1$（$n$ 为奇数时）或 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$（$n$ 为偶数时）当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2009}{\frac{\left( 2i-1 \right)!!}{\left( 2i \right)!!}}$ 表示成最简分数时，它的分母是 ${{2}^{a}}\cdot b$，其中 $b$ 是奇数，求 $\frac{ab}{10}$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
401
【解析】
注意到 $C_{2m}^{m}=\frac{{{2}^{m}}m!\left( 2m-1\right)!!}{m!m!}=\frac{{{2}^{m}}m!\left( 2m-1\right)!!}{m!}=\frac{{{2}^{2m}}\left( 2m-1 \right)!!}{\left( 2m \right)!!}$ 是一个正整数，故 $\frac{\left(2m-1 \right)!!}{\left( 2m \right)!!}=\frac{C_{2m}^{m}}{{{2}^{2m}}}$，将其化为最简分数时，分母必须是2的某个方幂．注意到 $\left( 2m-1 \right)!!$ 是一个奇数，故当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m}{\frac{\left( 2i-1\right)!!}{\left( 2i \right)!!}}$ 表示成最简分数时，第 $m$ 项的分母是2的能整除 $\left(2m \right)!!$ 的最高次幂项．因此是 $2a\cdot b$ 是2的能整除 $\left(2\cdot 2009 \right)!!=\left( 4018 \right)!!$ 的最高次幂．
再注意到 $b=1$（因 $b$ 是奇数且 ${{2}^{a}}\cdot b$ 是2的幂）．而 $\left( 4018 \right)!!={{2}^{2009}}\cdot 2009!$，故能整除 $\left(4018 \right)!!$ 的2的最高次幂为
$2009+\left[\frac{2009}{2} \right]+\left[ \frac{2009}{{{2}^{2}}} \right]+\ldots +\left[\frac{2009}{{{2}^{10}}} \right]$
$=2009+1004+502+251+125+62+31+15+7+3+1=4010$．
故 $\frac{ab}{10}=\frac{4010\cdot1}{10}=401$．
再注意到 $b=1$（因 $b$ 是奇数且 ${{2}^{a}}\cdot b$ 是2的幂）．而 $\left( 4018 \right)!!={{2}^{2009}}\cdot 2009!$，故能整除 $\left(4018 \right)!!$ 的2的最高次幂为
$2009+\left[\frac{2009}{2} \right]+\left[ \frac{2009}{{{2}^{2}}} \right]+\ldots +\left[\frac{2009}{{{2}^{10}}} \right]$
$=2009+1004+502+251+125+62+31+15+7+3+1=4010$．
故 $\frac{ab}{10}=\frac{4010\cdot1}{10}=401$．
答案
解析
备注
