设 $n=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$，其中 $p_i$（$i=1,2,\cdots ,k$）都是互不相等质数，且 $x_i$（$i=1,2,\cdots ,k$）都是正整数，于是$$1000n=2^3\cdot 5^3\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}.$$情形一 $2$ 和 $5$ 均不是 $n$ 的约数．
此时 $1000n$ 的约数个数是$$(3+1)(3+1)(x_1+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=1000,$$这不可能．
情形二 $2$ 和 $5$ 中的一个是 $n$ 的约数（不妨设对应的 $p_i$ 为 $p_1$）．
此时 $1000n$ 的约数个数是$$(3+1)(x_1+3+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=1000,$$于是$$(x_1+4)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=250,$$此时 $n$ 的约数个数为$$(x_1+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=(x_1+1)\cdot \dfrac{250}{x_1+4}=250-\dfrac{750}{x_1+4}\geqslant 100,$$等号当 $x_1=1$ 时取得．
情形三 $2$ 和 $5$ 均为 $n$ 的约数（不妨设对应的 $p_i$ 为 $p_1,p_2$）．
此时 $1000n$ 的约数个数是$$(x_1+3+1)(x_2+3+1)\cdots (x_k+1)=1000,$$于是$$(x_1+4)(x_2+4)\cdots (x_k+1)=1000,$$此时 $n$ 的约数个数为\[\begin{split} (x_1+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)&=(x_1+1)(x_2+1)\cdot\dfrac{1000}{(x_1+4)(x_2+4)}\\
&=40\left(5-\dfrac{15}{x_1+4}\right)\left(5-\dfrac{15}{x_2+4}\right)\\
&\geqslant 160,\end{split}\]等号当 $x_1=x_2=1$ 时取得．
综上所述，$n$ 的约数个数的最小值为 $100$．