若 $f\left(x\right)=x^5+px+q$ 有有理根，且正整数 $p,q$ 不大于 $100$，则满足条件的 $\left(p,q\right)$ 共有几组？
【难度】
【出处】
2020年北大强基考试数学回忆
【标注】
【答案】
$133$
【解析】
$f\left(x\right)$ 的有理根只能是 $q$ 的约数的相反数．
$\left|x\right|^5=\left|px+q\right|<10000$
故 $x\in\left\{-1,-2,-3,-4,-5,-6\right\}$
进而 $\left|x\right|^5<600$
故 $x\in\left\{-1,-2,-3\right\}$
当 $x=-1$ 时，$q-p=1$，有 $99$ 组解．
当 $x=-2$ 时，$q-2p=32$，有 $34$ 组解．
当 $x=-3$ 时，$q-3p=243$，无解．
故答案有 $133$ 组．
$\left|x\right|^5=\left|px+q\right|<10000$
故 $x\in\left\{-1,-2,-3,-4,-5,-6\right\}$
进而 $\left|x\right|^5<600$
故 $x\in\left\{-1,-2,-3\right\}$
当 $x=-1$ 时，$q-p=1$，有 $99$ 组解．
当 $x=-2$ 时，$q-2p=32$，有 $34$ 组解．
当 $x=-3$ 时，$q-3p=243$，无解．
故答案有 $133$ 组．
答案
解析
备注
