$a\text{}1\text{,}x\text{}1$，满足 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}2 \right)+{{\log }_{a}}24-128 \right)\text{=128}$ 且 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}x \right)\text{=}256$ 。求 $x$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
896
【解析】
由第一个等式，我们可以得到 ${{a}^{128}}\text{=}{{\log}_{a}}{{\log }_{a}}2+{{\log }_{a}}24-128\Rightarrow128+{{a}^{128}}\text{=}{{\log }_{a}}{{\log }_{a}}{{2}^{24}}\Rightarrow{{a}^{{{a}^{128}}{{a}^{{{a}^{128}}}}}}\text{=}{{2}^{24}}$，于是 ${{\left({{a}^{{{a}^{128}}}} \right)}^{\left( {{a}^{{{a}^{128}}}}\right)}}\text{=}{{2}^{24}}\text{=}{{8}^{8}}\Rightarrow{{a}^{{{a}^{128}}}}\text{=}8$ 。等式两边同时取 $128$ 次幂得到 ${{\left( {{a}^{128}}\right)}^{\left( {{a}^{128}} \right)}}={{64}^{64}}\Rightarrow {{a}^{128}}=64$，所以 $a\text{=}{{2}^{\frac{3}{64}}}$ 。根据第二个等式 $256\text{=}{{\log}_{a}}\left( {{\log }_{a}}\left( x \right) \right)\text{=}\frac{64}{3}{{\log}_{2}}\left( \frac{64}{3}{{\log }_{2}}\left( x \right) \right)\Rightarrow12\text{=}{{\log }_{2}}\left( \frac{64}{3}{{\log }_{2}}\left( x \right) \right)\Rightarrow{{2}^{12}}\text{=}\frac{64}{3}{{\log }_{2}}x$，于是 $x\text{=}{{2}^{192}}$ 。根据欧拉定理，${{2}^{\varphi\left( 125 \right)}}\text{=}{{2}^{100}}\equiv 1\left( \bmod 125 \right)$ 。所以 ${{2}^{192}}\equiv\frac{1}{{{2}^{8}}}\equiv \frac{1}{256}\equiv \frac{1}{6}\left( \bmod 125\right)$ 。又因为 $6\cdot 21=126\equiv 1\left( \bmod 125 \right)$，所以 $x\equiv 21\left(\bmod 125 \right)\text{,}x\equiv 0\left( \bmod 8 \right)$ 。由中国剩余定理，$x\equiv896\left( \bmod 1000 \right)$
答案
解析
备注
