设 $m$ 是 $4x+3y+2z=2009$ 的正整数解的个数，而 $n$ 是 $4x+3y+2z=2000$ 的正整数解的个数，求 $m-n$ 除以1000的余数．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
0
【解析】
若 $\left( a b c \right)$ 是方程 $4x+3y+2z=2000$ 的非负整数解，则 $\left(a+1 b+1 c+1 \right)$ 是方程 $4x+3y+2z=2009$ 的正整数解．相反，若 $\left( a b c \right)$ 是方程知 $4x+3y+2z=2009$ 的正整数解，则 $\left(a-1 b-1 c-1 \right)$ 是方程 $4x+3y+2z=2000$ 的非负整数解．于是，存在方程 $4x+3y+2z=2000$ 的非负整数解与方程 $4x+3y+2z=2009$ 的正整数解之间的一一对应：因此，$m-n$ 相当于方程 $4x+3y+2z=2000$ 在 $xy=0$ 的情况下的非负整数解的个数．
当 $x=0$ 时有 $3y=2\left(100-z \right)$，故 $z$ 应等于3的倍数加上1，且 $z\leqslant 1000$．容易知 $z$ 可以取1，4，7…，1000共334个值．同理，可分别求得当 $y=0$ 和 $z\leqslant 1000$ 时．分别有501和167组解．注意到 $(0,0,100)$ 和 $(500,0,0)$ 分别被计算了两次，故方程 $4x+3y+2z=2000$ 在 $xyz=0$ 的情况下的解非负整数解的个数为 $334+501+167-2=1000$．从而所求的结果为0．
点评用计算机可以分别求得 $m=83834$，$n=82834$．
当 $x=0$ 时有 $3y=2\left(100-z \right)$，故 $z$ 应等于3的倍数加上1，且 $z\leqslant 1000$．容易知 $z$ 可以取1，4，7…，1000共334个值．同理，可分别求得当 $y=0$ 和 $z\leqslant 1000$ 时．分别有501和167组解．注意到 $(0,0,100)$ 和 $(500,0,0)$ 分别被计算了两次，故方程 $4x+3y+2z=2000$ 在 $xyz=0$ 的情况下的解非负整数解的个数为 $334+501+167-2=1000$．从而所求的结果为0．
点评用计算机可以分别求得 $m=83834$，$n=82834$．
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