正实数 $x,y,z$ 满足 $\text{2}{{\log }_{x}}\left( 2y \right)=2{{\log }_{2x}}\left( 4z \right)=2{{\log }_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\ne 0$ 。 $x{{y}^{5}}z$ 可表示为 $\frac{\text{1}}{{{\text{2}}^{p/q}}}$，其中 $p,q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
049
【解析】
为不失一般性，我们假设 $\text{2}{{\log}_{x}}\left( 2y \right)=2{{\log }_{2x}}\left( 4z \right)={{\log}_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\text{=}2$ 。则，$\begin{matrix}
&\text{2}{{\log }_{x}}\left( 2y \right)=2\Rightarrow x\text{=}2y \\
& 2{{\log}_{2x}}\left( 4z \right)=2\Rightarrow 2x\text{=}4z \\
& 2{{\log}_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\text{=}2\Rightarrow 4{{x}^{8}}\text{=}8yz \\
\end{matrix}$ 。
不难发现 $4{{x}^{8}}\text{=}\left( 2y \right)\left( 4z\right)\text{=}x\left( 2x \right)\to x\text{=}{{2}^{-1/6}}\text{,}y\text{=}z\text{=}{{2}^{\frac{-1}{6}-1}}\text{=}{{2}^{-\frac{7}{6}}}$ 。所以我们所求的值为 ${{2}^{\frac{-1}{6}}}\cdot{{\left( {{2}^{\frac{-7}{6}}} \right)}^{5}}\cdot{{2}^{\frac{-7}{6}}}\text{=}{{2}^{\frac{-43}{6}}}p+q\text{=}43+6\text{=}049$
&\text{2}{{\log }_{x}}\left( 2y \right)=2\Rightarrow x\text{=}2y \\
& 2{{\log}_{2x}}\left( 4z \right)=2\Rightarrow 2x\text{=}4z \\
& 2{{\log}_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\text{=}2\Rightarrow 4{{x}^{8}}\text{=}8yz \\
\end{matrix}$ 。
不难发现 $4{{x}^{8}}\text{=}\left( 2y \right)\left( 4z\right)\text{=}x\left( 2x \right)\to x\text{=}{{2}^{-1/6}}\text{,}y\text{=}z\text{=}{{2}^{\frac{-1}{6}-1}}\text{=}{{2}^{-\frac{7}{6}}}$ 。所以我们所求的值为 ${{2}^{\frac{-1}{6}}}\cdot{{\left( {{2}^{\frac{-7}{6}}} \right)}^{5}}\cdot{{2}^{\frac{-7}{6}}}\text{=}{{2}^{\frac{-43}{6}}}p+q\text{=}43+6\text{=}049$
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