求所有满足条件的正整数 $b<1000$，使得 $b$ 进制下的数 ${{36}_{b}}$ 是一个完全平方数 ${{27}_{b}}$ 是一个完全立方数
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
371
【解析】
在十进制下，${{36}_{b}}\text{=}3b+6\text{,}{{27}_{b}}\text{=}2b+7$ 。因为 $b<1000\text{,}2b+7\le2005$ 。因为 $2b+7\text{=}{{m}^{3}}\text{,}m\in \mathbb{N}$ 。所以 $m\leqslant \left[\sqrt[3]{2005} \right]=12$ 。又因为 $2b+7$ 为奇数，所以 $m$ 的可能值为 $3\text{,}5\text{,}7\text{,}9\text{,}11$，对应可能的 $b$ 值为 $10\text{,}59\text{,}168\text{,}361\text{,}662$ 。代入 $3b+6$，验证得到 $b\text{=}10\text{,}361$ 时 $3b+6$ 为完全平方数。所以所求值为 $361+10\text{=}371$
答案
解析
备注
